¿Infinito finito?
Imagínense un vaso que sea infinitamente largo es decir, que su superficie sea infinita, esto nos dice que dentro del vaso podríamos almacenar una cantidad infinita de líquido pues su volumen sería infinito; ¿No es así? Si es infinitamente grande deberíamos poder llenarlo con infinita cantidad de agua, visto de otra forma si quisiéramos pintar su superficie exterior necesitaríamos una cantidad infinita de pintura y también de tiempo; lo mismo pasaría al querer pintar su superficie interna. Ahora, ¿se imaginan que este vaso con una superficie infinita solo pudiera almacenar una cantidad especifica de líquido? Que su superficie sea infinita pero su volumen finito, esto no parece ser posible ni tener mucho sentido así que déjenme contarles...
En mi pasó hace dos semestres por la materia de Cálculo II se nos propuso un ejercicio, calcular el sólido de revolución de la curva 1/x en el dominio x≥1
De la gráfica vemos que la función posee una asíntota horizontal, al girar está curva al rededor del eje x obtenemos el siguiente sólido:
El cual su superficie es asintótica a la recta que pasa por su centro.
Al calcular el valor de la superficie del sólido nos damos cuenta que el resultado no converge, es infinito, hasta acá todo "normal" lo extraño o mejor dicho interesante sucede cuando calculamos el valor del volumen.
El resultado converge a π y es cuando esto no concuerda con nuestra lógica, ¿cómo es que tiene una superficie infinita pero su volumen es finito? Si como en el caso del vaso sería de esperar que su volumen también fuese infinito.
Esta figura geométrica fue idea por Evangelista Torricelli y se le conoce como cuerno de Gabriel o trompeta de Torricelli, causó confusión entre los pensadores de su época y fue considerada una paradoja ya que, tomando el ejemplo del vaso y la pintura si nos propusieramos pintar su superficie exterior necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, pero al ser su volumen finito podríamos llenarla con cierta cantidad de pintura con lo cual estaríamos pintando la superficie que acabamos de ver es infinita.
La verdad es que, la parte derecha de la figura se va haciendo cada vez más y más pequeña y llegado un punto el diámetro sería incluso más pequeño que el de una molécula de pintura, por lo cual la mayor parte de esta es inaccesible a la pintura y al rellenarla solo se cubriría cierta parte de la superficie, en el caso que tuviésemos una pintura ideal sin grosor, está podría fluir libremente y entonces necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para que llegase al final.
Siempre me ha sorprendido esa paradoja, El cuerno de Gabriel un ejemplo muy instructivo para usarlo con nuestros estudiantes de Cálculo.
Creo que a todo el que lo conoce por primera vez le sorprende y sino, que lastima.