Ecuaciones diferenciales de variables separables.

gary.nunez (40)in #cervantes • 8 years ago (edited)

Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas sus soluciones, es decir, es encontrar su conjunto solución.
En el estudio de las ecuaciones diferenciales es frecuente interpretar: ${y}'= \frac{dy}{dx}$ , como el cociente de diferenciales. De esta forma, por ejemplo, si la ecuación diferencial es: $\frac{dy}{dx}= \frac{M(x,y)}{N(x,y)}$ , esta puede ser escrita como: $M(x,y)dx-N(x,y)dy= 0$ . A esta expresión de la ecuación diferencial la denotaremos como su forma diferencial.
Una ecuación diferencial de la forma: ${y}'= \frac{dy}{dx}= f(x,y)$ , es de variables separables si podemos escribirla de la forma: $g(y)dy= h(x)dx$ .
El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en separar sus variables a través de operaciones algebraicas o artificios matemáticos, luego de lograr la separación de las variables procedemos a integrar, es decir: $\int g(y)dy=\int h(x)dx\Rightarrow \alpha (y)+c_1{}= \beta (x)+c_2{}\Rightarrow \alpha (y)-\beta (x)= c_2{}-c_1{}, \textup{con c= } c_2{}-c_1{}$
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es: $\alpha (y)= \beta (x)+c$ .
Ilustramos este método con los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1: Resolver $(1+x)dy-ydx= 0$ .
Solución:
Separando las variables tenemos:
$(1+x)dx-ydx=0\Rightarrow (1+x)dy= ydx\Rightarrow \frac{dy}{y}= \frac{dx}{1+x}$ .
Integrando:
$\int \frac{dy}{y}= \int \frac{dx}{1+x}+C\Rightarrow \ln (y)= \ln (1+x)+C$ .
Usando propiedades del logaritmos y considerando que $e^C{}=C$ tenemos:
$e^{\ln (y)}= e^{\ln (1+x)+C}\Rightarrow y= e^{\ln (1+x)}e^{C}$ .
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$y=(1+x)C$ .

Ejemplo 2: Resolver $xsen(x)e^{-y}-ydy=0$
Solucion:
Separemos las variables:
$xsen(x)e^{-y}dx-ydy=0\Rightarrow xsen(x)e^{-y}= ydy\Rightarrow \frac{ydy}{e^{-y}}=xsen(x)dx$ .
Integrando se tiene:
$\int \frac{ydy}{e^{-y}}=\int xsen(x)dx+C\Rightarrow \int ye^{y}dy= \int xsen(x)dx+C \Rightarrow ye^{y}-e^{y}= sen(x)-xcos(x)+C$ .
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$e^{y}(y-1)=sen(x)-xcos(x)+C$ .
Disculpen la presentación, es la primera vez que utilizo este editor de ecuaciones para los ejemplos, en una próxima presentación les dejare más ejemplo.
Espero les sean útiles estos dos ejemplos.