Derivada aplicando la función logaritmo natural

A veces se torna tedioso derivar funciones que son resultado de funciones exponenciales, tal es el caso del ejemplo siguiente donde nos piden derivar la función:

Al ver el ejercicio lo primero que se nos ocurre es aplicar derivada de un cociente, y eso es correcto. También se debe tomar en cuenta que el denominador es un producto, por lo que en algún momento habrá que aplicar derivada de un producto y también vamos a necesitar aplicar la regla de la cadena.

Si seguimos ese camino seguro que se llegará al resultado deseado, pero hay una vía más expedita para llegar a ese resultado y es la diferenciación logarítmica. Específicamente vamos a usar la función logaritmo natural.

Procedimiento:

Se comienza aplicando logaritmo natural a ambos lado de la igualdad:

Luego se aplican propiedades de los logaritmos, los cuales también son válidos para la función logaritmo natural.

La primera propiedad que vamos a usar es esta: Ln a/b=Lna-Lnb (Logaritmo de un cociente)

Nuestra expresión queda así:

Luego se aplica la siguiente propiedad: Ln ab= Ln a + ln b (Logaritmo de un producto)

Eliminando los corchetes queda así:

La siguiente propiedad que usaremos es la siguiente: Ln aⁿ=n Lna (Logaritmo de una potencia)

Finalmente aplicamos diferenciación implícita y la derivada de la función logaritmo natural que viene dada por la siguiente fórmula: D_x (Ln U)= (1/U) U^´

Trabajando con el mínimo común múltiplo entre los denominadores se tiene:

Reduciendo términos semejantes en el numerador:

Despejando y´, se tiene:

Sustituyendo y por su valor:

Aplicando propiedades de los exponentes, se tiene finalmente el resultado deseado.