Método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

in castellano •  5 months ago
Continuando con el tema de la solución de sistemas de ecuaciones lineales, hoy les explicaré la reducción gaussiana. Previamente trataré el tema de lo que es una matriz escalonada reducida y una matriz escalonada.

reducción gaussiana portada.jpg

Comencemos.

Una matriz se dice que está expresada en forma escalonada reducida cuando presenta la forma siguiente:
1. Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si estos existen, aparecen en la parte de debajo de la matriz.
2. El primer número, si empezamos por la izquierda, en cualquier renglón que no consista de ceros, es 1.
3. Si dos renglones sucesivamente de ceros, entonces el primer 1 en el renglón inferior está más a la derecha del primer 1 del renglón superior.
4. Cualquier columna que contenga el primer 1 de un renglón tendrá ceros en los demás lugares.

Ejemplos:

reduccióngaussiana1.png

Una matriz está en forma escalonada si se dan las tres primeras condiciones de la matriz escalonada reducida.

Ejemplos:

reduccióngaussiana2.jpg

Observe que en la forma escalonada debajo del primer 1 en cada renglón hay ceros, por encima puede ir cualquier otro número; por el contrario, en la escalonada reducida debe haber ceros tanto por arriba como por debajo del primer 1 en cada renglón de la matriz.

Es importante acotar que siempre es posible llevar una matriz a la forma escalonada reducida o escalonada a través de operaciones elementales entre renglones.

Esta propiedad es de gran utilidad al momento de resolver sistemas de ecuaciones lineales. En el post anterior se explicó con un ejemplo la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss-Jordan, para lo cual hubo que usar una matriz aumentada que fue llevada a la forma escalonada reducida.

Hoy explicaremos un método primo hermano del anterior, se trata de la eliminación gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Eliminación Gaussiana

Para aplicar este método, primero se lleva la matriz aumentada generada por el S.E.L a la forma escalonada, luego se resuelve para la última incógnita, esto es, usando la última fila; y luego usar el resultado generado en la parte anterior a través de la sustitución hacia atrás para resolver para las otras incógnitas.
Veamos algunos ejemplos:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

ejercicio2.gif
Construyamos una matriz 2x3 con los coeficientes de las variables de nuestro sistema:

reduccióngaussiana4.jpg
Construyamos ahora la matriz aumentada, y hagamos operaciones elementales entre filas con la finalidad de llevarla a la forma escalonada:

reduccióngaussiana5.jpg
La última fila se interpreta como la ecuación:

reduccióngaussiana6.jpg.png
Pero 0 ≠-1

Lo cual nos permite concluir que el sistema no tiene solución.

2)

reduccióngaussiana7.jpg.jpg
Matriz aumentada:

reduccióngaussiana8.jpg.jpg
De la última fila se deduce que:


reduccióngaussiana9.jpg.jpg
La segunda fila los indica la siguiente ecuación:

reduccióngaussiana10.jpg.jpg
Sustituyendo z en la ecuación anterior y despejando y , se tiene que:
reduccióngaussiana11.jpg.jpg
Finalmente como:

reduccióngaussiana12.jpg.jpg
Hacemos las sustituciones correspondientes y conseguimos que reduccióngaussiana13.jpg.jpg
Luego la solución del sistema es:

reduccióngaussiana14.jpg.jpg


Desarrollemos directamente el tercer ejemplo:
reduccion gaussianatercer ejemplo.jpg


De manera similar que en los ejemplos anteriores, en la matriz resultante cada fila determina un ecuación, para obtener la solución se aplica la sustitución hacia atrás para llegar al siguiente resultado:

reduccióngaussiana17.jpg.jpg
reduccióngaussiana18.jpg.jpg
Donde w es arbitraria, por lo cual el sistema admite infinitas soluciones.


separador.jpg

Referencia:

Referencia: Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

La imagen de entrada fue creada con la ayuda de Geogebra clásico
El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.



Separador ana lealsuarez.jpg

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Veo la huella en su post, de su fortaleza didáctica. Me parece dignode reconocimiento toda vez que existiendo sentido didáctico -pedagógico- en la matemática, pues ésta se aleja de la absurda tradición de asumirla como algo archi-difícil, al tiempo en el cual se acerca a lo que en esencia es: un constructo digerible, asimilable, heurístico. ¡Adelante profesora @analealsuarez!

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Gracias @alexandermoreno, creo que por mis venas brotan dos tipos de sangre, una impregnada de matemática y la otra, de su enseñanza.

Hi @analealsuarez!

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