Matrices. Suma de matrices y multiplicación por un escalar

in castellano •  3 months ago
El estudio de las matrices se inicia con el matemático británico James Joseph Sylvester (1814-1897), quien usó el término por primera vez en 1850 para diferenciar las matrices de los determinantes.

matrices.jpg

Una matriz mxn es un arreglo rectangular de mxn números distribuidos en un orden definido de m filas y n columnas.

Las matrices se denotan mediante letras mayúsculas. En genral la matriz A constituida por m filas y n columnas se expresa como A mxn, y su representación es la siguiente:
Donde y .

Cada elemento de la matriz se encuentra ubicado en una fila i y una columna j donde y

Este término se escribe .

De manera general, la matriz A puede ser expresada como A=()

Veamos la siguiente matriz:


Obsérvese que dicha matriz tiene 4 filas y 3 columnas, por lo tanto es una matriz 4x3.
El término se encuentra ubicado en la intersección de la fila 3 con la columna 2, que en nuestro caso es 4.
Observaciones:

  • El tamaño de la matriz está definido por su número de filas m y de columnas n, es decir mxn.

  • Cuando m=n se dice que la matriz es cuadrada.

  • Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo tamaño y los componentes correspondientes son iguales.

  • Una matriz es nula si todos sus componentes son iguales a 0.

  • Identifiquemos cada una de las siguientes matrices:
    1) A es una matriz 2x2, como tiene igual número de filas que de columnas se dice entonces que es una matriz cuadrada.
    2) B es una matriz nula 3x2

    Relación entre vectores y matrices

    Un vector puede ser considerado como una matriz, por ejemplo el n-vector fila puede ser considerado como una matriz de una fila y n columnas. Mientras que el vector puede ser considerado como una matriz de m filas y una columna.

    Suma de matrices.

    Consideremos las matrices y del mismo tamaño.
    Entonces la suma de A y B, representada por A+B es otra matriz que se obtiene sumando las componentes correspondientes de las matrices A y B.

    Esto es:

    Producto de un escalar por una matriz

    Sea un escalar y A una matriz mxn, entonces:

    Veamos el siguiente ejemplo

    Dados: el escalar =-5 y la matriz , hallar A + A.

    Solución:

    A + (-5)A= + (-5) + =


    Observación:
    Estas operaciones con matrices son similares a las mismas operaciones con vectores.

    Propiedades de la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar

  • Conmutativa para la adición de matrices: Dadas dos matrices A y B, siempre se cumple que: A+B=B+A
  • Asociativa para la adición de matrices: Dadas las matrices A, B y C, siempre se cumple que: (A + B)+C= A+(B+C)= (A+C) +B
  • Elemento neutro para la suma de matrices: Para toda matriz A existe la matriz 0 del mismo tamaño tal que: A+0=0+A=A
  • Factor cero para la multiplicación de una matriz por un escalar: Para toda matriz A existe el escalar 0 tal que 0.A=0 nos da la matriz nula.
  • Elemento neutro para la multiplicación de una matriz por un escalar: Para toda matriz A existe el escalar 1 tal que 1.A=A.1=A
  • Distributiva de la multiplicación de una matriz por un escalar: Para todo escalar se cumple: (A+B)= A + B

  • Ejemplo

    Dadas las matrices:
    , y
    Encuentre una matriz D, de manera que A+B+C+D sea la matriz 03x3
    Solución:

    Consideremos que la matriz entonces: A+B+C+D = 03x3 ( O es la matriz nula 3x3 ), desarrollemos esa igualdad con la finalidad de conseguir los dij donde i y j se encuentran entre 1 y 3; los cuales corresponden a los componentes de la matriz D.
    Comencemos:

    + + + =
    Desarrollando las adiciones correspondientes se obtiene la siguiente igualdad de matrices:

    =

    De donde se obtienen la siguientes ecuaciones lineales:









    Que nos permite estructurar la matriz , con lo cual resolvemos el problema.

    separador.jpg

    Referencias:
    Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
    Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

    La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerpoint.
    El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.



    Separador ana lealsuarez.jpg

    Authors get paid when people like you upvote their post.
    If you enjoyed what you read here, create your account today and start earning FREE STEEM!
    Sort Order:  

    Saludos @analealsuares, volviéndonos a ilustrar con tan bien descrito y diagramado tu manuscrito. Saludos

    ·

    Te felicito por este post tan educativo, mi hija está estudiando este tema y le ha servido de práctica.

    ·

    Que bueno. Gracias.