La inversa de una matriz

in castellano •  4 months ago
El tema a tratar en este post es la inversa de una matriz, para ello comenzaré con algunos ejemplos, luego daré algunas observaciones, y finalmente explicaré un procedimiento para conseguir la inversa de una matriz.

portadainversadeunamatriz.jpg

Dadas las matrices:
y
Calculemos AxB

La matriz resultante recibe el nombre de matriz identidad de orden 2, y la denotaremos por I.
Esto es: I2
Si seguimos el orden lógico que nos ofrece el ejemplo anterior, podemos deducir que la matriz identidad de orden 3, es decir I3 tiene la siguiente forma:
En base a estos ejemplos podemos destacar que la matriz identidad tiene particularidades:
  • Es una matriz cuadrada
  • Cada componente de su diagonal principal es 1.
  • Los demás componentes son todos iguales a 0.

  • Definamos en forma general la matriz identidad de orden n:




    De esta forma podemos asegurar que la matriz identidad de orden 4 es:



    Supongamos ahora que nos dan una matriz cualquiera A, y nos piden que consigamos otra matriz B tal que AxB=I. En este caso decimos que B es la inversa de A y se denota como A-1.

    De acuerdo a esto, la matriz B del ejemplo inicial es la inversa de A (y viceversa).

    Esto es:

    Dada entonces su inversa es B= ya que AxA-1=I2.

    Es fácil deducir que para toda matriz cuadrada A de orden n se cumple que: AxIn=InxA=A. (La verificación se deja al lector)
    Observaciones:
  • Una matriz cuadrada A se dice que es invertible si y solo sí existe A-1.
  • Si A es invertible entonces (A-1)-1=A. (La verificación se deja al lector).
  • Si A y B son matrices de orden n son invertibles entonces (AxB)-1= B-1xA-1.
  • Validemos la tercera observación con el siguiente ejemplo:
    Sea cuya inversa es ; cuya inversa es .
    (AxB)-1:

    Multiplicando B-1x por A-1 se obtiene:

    Pero cómo se obtiene la inversa de una matriz?

    Existen varios procedimientos, entre ellos el método de Gauss- Jordan el cual técnicamente he explicado anteriormente. En este caso particular, la matriz a la cual se le quiere determinar su inversa se transforma en una matriz aumentada donde la parte agregada a la derecha de la matriz original consiste en la matriz identidad correspondiente al orden de la matriz A. Luego se desarrollan operaciones elementales entre filas con el objetivo de transformar la parte izquierda de la matriz aumentada en la matriz identidad. Al lograr esto, la matriz que resulta en el lado derecho de la matriz aumentada corresponderá a la matriz inversa de la matriz original.

    A continuación se describe el procedimiento a través del siguiente ejemplo:
    Hallar la matriz inversa de
    Solución:


    Luego
    Ejercicio resuelto con la ayuda de Calculadora de matrices


    Referencias:
    Jagdish C. Arya/Robin W, Larnerd (1992). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
    Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
    Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

    La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerPoint.
    El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.
    Algunos de los ejercicios fueron resueltos con la ayuda de Calculadora de matrices

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    Muy interesante su post matemático. Además, estético.

    ·

    Gracias @alexandermoreno, lo mismo digo acerca de sus post.



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