Durante el ciclo que Proconocimiento ha dedicado a la ciencia en este mes de la primavera, he decidido escribir algunos post sobre matemática; en el post anterior dediqué la matemática a un tema de aplicación a la economía, hoy lo dedicaré a un tema netamente abstracto:

Trataré de ser lo más didáctica posible, comenzaré definiendo:

Incremento de una función

En general, el incremento de una función f(x) cuando x pasa de x₁ a x₂ se define como Δf=f(x₂)-f(x₁)
De tal forma que si queremos determinar el incremento de la función f(x)= x² +3x -1, cuando x pasa de x₁=3 a x₂=5; procederemos de la siguiente forma:
Δf=(5²+3.5-1)-(3² + 3.3 -1)=(25+15-1)-(9+9-1)=40-1 -18 +1= 40-18=22
Luego Δf=22
Este resultado significa que la función f se incrementa en 22 unidades cuando x pasa de x₁=3 a x₂=5.

Esta información nos dice que la función es creciente en el intervalo [3,5], ya que el incremento es positivo.

Razón de cambio promedio

Ahora bien, nos interesa determinar la razón de cambio promedio de f cuando x pasa de x₁=3 a x₂=5. . Este viene determinado por el siguiente cociente Δf/Δx, donde
Δx= x₂ - x₁. En el ejemplo anterior Δx= 5-3=2.

De tal forma que razón de cambio promedio en nuestro ejemplo es 22/2=11, lo cual indica que nuestra función cambia a razón de 11 unidades por cada cambio de dos unidades en la abscisa.

Continuemos con el ejemplo, pero ahora calculemos la razón de cambio promedio cuando x₂ y x₁ son muy cercanos, por ejemplo x₂=5 y x₁=4.9
x² +3x -1, entonces Δf=(5²+3.5-1)-(4.9² + 3(4.9) -1)=(25+15-1)-(24.1+ 14.7-1)=40-1-38.8 +1=40-38.8=1.2

Luego Δf=1.2
Δx=5-4.9=0.1
Δf/Δx=1.2/0.1=12

Hagamos lo mismo pero con un valor x₁ más cercano a 5, por ejemplo 4.99
Calculemos
x² +3x -1, entonces Δf=(5²+3.5-1)-(4.99² + 3(4.99) -1)=(25+15-1)-(24.9+ 14.97-1)=40-1-39.87 +1=40-39.87=0.13
Luego Δf=0.13
Δx=5-4.99=0.01
Δf/Δx=0.13/0.01=13

Derivada como razón de cambio

A medida que x₁ se hace más próximo a x₂, Δx se hace más pequeño, tiende a ser 0, por ello escribimos: Δx→0.
Observe que en nuestro ejemplo cuando esto sucede, la función se aproxima a 13.
Recordemos que Δx=x₂ - x₁, despejando x₂ nos queda: Δx + x₁=x₂ .

Sustituyamos estos cambios en Δf=f(x₂) - f(x₁), lo cual al hacerlo, nos queda
Δf=f(Δx + x₁) - f(x₁).
Nuestra razón de cambio pasa a tener la forma siguiente:
Δf/Δx =[f(Δx + x₁) - f(x₁)]/Δx.

Hagamos más general esta expresión haciendo x₁= x, para cualquier x en el dominio de la función; entonces nuestra fórmula se hace aún más general:Δf/Δx =[f(Δx + x) - f(x)]/Δx.

Aplicando esta nueva fórmula del incremento para nuestra función se obtiene lo siguiente:
Δf/Δx=[(Δx + x)²+3(Δx + x) - 1-(x² +3x -1) ]/Δx
=[(Δx)² +2xΔx+x² +3Δx +3x - 1-x² -3x +1)]/Δx
=[(Δx)² +2xΔx +3Δx]/Δx
Sacando factor común y simplificando por Δx, nos queda Δf/Δx=Δx +2x +3

Si aplicamos límite cuando Δx→0 a ambos lados de esa igualdad, obtendremos una nueva fórmula
Lím Δf/Δx
Δx→0
Lím(Δx +2x +3)= 0 +2x +3= 2x +3
Δx→0

♦ Esta nueva fórmula nos permite obtener la derivada de cualquier función, particularmente la derivada de f, la cual se denota por: f´(x)
Esto es f´(x)
=Lím Δf/Δx=(Δx +2x +3)= 0 +2x +3= 2x +3
Δx→0 ♦
Es decir que f´(X)=2x+3
Particularmente en nuestra función f(x)= x² +3x -1, cuando evaluamos
Lím Δf/Δx, cuando x=5
Δx→0

Obtenemos f´(5)=2.5 + 3= 13, lo cual es el valor que anteriormente habíamos encontrado para Δf/Δx cuando los valores de x hacen muy cercanos a 5.