[수론] 수포자를 위한 수론 (3) 완전수

안녕하세요 @snuff12입니다
문과도, 수포자도 이해할 수 있는, 그러나 전공자도 증명하기 힘든
정수론의 세계로 여러분을 초대합니다

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안녕하세요 오늘은 그 이름부터 멋있는 완전수에 대해 쓰려고 합니다

완전수

完全數
Perfect number
그 수의 약수 중 자기자신을 제외하고 더했을 때(진약수의 합), 자기 자신이 되는 수 또는
약수의 합이 원래의 수의 두배가 되는 수다.

이미지 출처
예를 들어 6은, {1,2,3,6}을 약수로 가지고, 자기 자신을 제외한 1,2,3을 더하면 자기 자신, 1+2+3=6이 되기 때문에 완전수입니다. 첫번째 완전수죠
두번째 완전수는 28으로, 1+2+4+7+14=28입니다
세번째는 496, 네번째는 8,128입니다. 여기까지가 피타고라스가 찾은 완전수 입니다

여기서 잠깐!!

6, 28... 어디서 많이 본거같지 않나요??

맞습니다. 삼각수입니다
6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7이죠
그렇다면 496은?? 더 나아가 완전수는 모두 삼각수일까요??
정답은 맨 밑에 있습니다 ㅎㅎ

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삼각수 사각수와 마찬가지로, 완전수는 효용이 없는 수입니다.
하지만 수학자들이 사랑한 수이기도 하지요.

기하학으로 유명한 유클리드도, 완전수에 대해 연구했었습니다

그는 위와 같은 형태의 수는, 완전수라는 사실을 밝혀냈습니다(2^m-1이 소수일 때. 이 수를 메르센소수라고 합니다)
이 증명은 중학교 수학과정으로 충분히 해낼 수 있습니다

그리고 그로부터 2000년이 지난 1700년대

오일러는 완전수에 대한 새로운 사실을 밝혀냅니다

유클리드의 발견을 조금 더 발전시켜,
모든 짝수 완전수가 위와 같은 형태를 하고 있다는 사실이죠.

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그렇다면 홀수 완전수는??

짝수 완전수에 대한 증명은 끝났습니다
그리고 메르센소수는 무한하다는 증명 또한 끝났기에, 짝수 완전수는 무한하다는 사실도 알 수 있습니다
그렇다면 홀수 완전수는 존재할까요??

놀랍게도, 피타고라스부터 시작해서 현대 슈퍼컴퓨터까지
홀수완전수에 대한 증거를 찾아내지 못했습니다.
홀수완전수는 없다고 생각하는 사람들이 많죠.

하지만 홀수 완전수가 존재하지 않는다는 증명 또한 아직까지 되지 않았습니다.
수천년을 이어온 난제... 과연 살아있는동안 풀릴 수 있을까요??

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정답

모든 (짝수)완전수는 삼각수입니다
2^m을 M이라고 둔다면
짝수 완전수는 M(M-1)/2, 즉 삼각수와 같은 형태가 되기 때문입니다
496은 32*31/2 로
1+2+3+4+5+....+31 입니다

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[수론] 수포자를 위한 수론 (1)
[수론] 수포자를 위한 수론 (2)

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