有趣的数学【05】：十字相乘法，快刀斩乱麻

在之前的有趣的数学【03】：因式分解的威力和人际合作时的哲理中，我们讲到了因式分解。因式分解是非常重要的数学恒等变形的方法，而十字相乘法又是进行因式分解时很重要的一种方法。

十字相乘法的具体变形过程，就是十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

用图表示是这样的：

用多了十字相乘法，特别是解决了一些复杂的情况后，突然发现，似乎很多人生哲理都能从数学当中体现出来，好奇妙啊！

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下面我们看一个实际的例子：

这个算式里面，有3次方，有一次方，缺少2次方，不利于因式分解。所以首先通常的做法是要补齐2次方。

怎么补2次方项呢？很简单，利用十字相乘法则，针对后面的-11x + 20，补上相应的的2次方项，这样就可以进一步把2次方，一次方和常数进行因式分解了。

对于形如ax²+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。

在这个算式中，b=11， c=-20；
下面进行试算：

当a=1时，b²-4ac = 121+80 = 201，不是完全平方数，因此a=1不适用；
当a=2时，b²-4ac = 121+160 = 281，不是完全平方数，因此a=1不适用；
当a=3时，b²-4ac = 121+240 = 361，是19的平方，因此a=3适用；
当a=4时，b²-4ac = 121+320 = 441，是21的平方，因此a=4也适用；

如果a=3，

此时没有办法再进一步进行因式分解；

如果a=4，

则算式还能进一步分解：
原式 = （x+4）（x²-4x+5）；
对x²-4x+5进行判断是否能够再用十字相乘运算分解：
Δ=b²-4ac = 16-20 = -4，不是完全平方数，所以不能再分解了。

所以

原式 = （x+4）（x²-4x+5）

这就完成了算式的因式分解，整个世界清静了。

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这个和生活一样啊，要把纷繁复杂的世界尽量简化，才能方便我们进一步理解。

只是，要深入理解内在原理，掌握人生真谛，才能在尽可能短的时间内，将一团乱麻整理得井井有条，让混沌的世界逐渐清晰起来。

这就是我们做人要练习的内功，和数学算法有着异曲同工之妙，真是有趣。

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