[특수상대성이론] 로렌츠변환의 검증과 수정

안녕하세요 @chosungyun입니다.
저번 포스팅에서 갈릴레이 변환을 상대론적 고려를 위해 로렌츠 변환으로 수정하는 과정을 포스팅했습니다.
그 결과 matrix는 아래와 같습니다.

이 matrix는 상대론역학에서 적용되지만 동시에 고전역학에서의 갈릴레이 변환으로부터 유도되었기에 갈릴레이 변환으로 다시 돌릴 수 있어야 합니다.
즉, 갈릴레이 변환은 로렌츠 변한의 특수한 case라고 볼 수 있습니다.
그럼 이 matrix가 갈릴레이 변환을 포함하는지 확인해보겠습니다.

이 matrix에서 광속(c)에 비교하여 속도(v)로 이동하는 계가 있습니다.
이때 c>>v이며 v는 광속보다 훨씬 느리다고 합시다.
사건(event)이 발생한 계가 우리가 눈으로 관측하는 고전역학에서의 속도로 이동한다면 아래 분모의 값에서 c²-v²의 값은 거의 c²으로 근사합니다.

예를 들어 30만km/s인 빛의 속도 대비 400m/s로 날아가는 총알이 있다고 합시다.
초당 400m를 날아가는 총알은 우리 눈에 보이지 않을 정도로 매우 빠른 속도를 가집니다.
하지만, 30만km/s의 제곱 빼기 400m/s의 제곱은 다음과 같습니다.

즉, 우리가 생각하기에 빠르다고 생각되는 총알조차도 빛의 속도에 비교했을때는 매우 작은 값입니다.
따라서 로렌츠 변환의 분모는 빛의 속도 c로 근사됩니다.

또한 분자에 v분모에 c제곱이 온다면 매우 작은 값을 가지게 되며 0으로 근사됩니다.

그럼 다음과 같이 쓸 수 있고 갈릴레이 변환으로 표현되는 것을 볼 수 있습니다.

이렇게 로렌츠 변환이 갈릴레이 변환을 포함하는 matrix임을 확인했습니다.

그럼 다시 matrix를 볼까요?

어때 보이시나요?
복잡하죠!
분모에 루트가 있는 것 자체가 보기 좋지 않습니다.
앞으로 계산하는 데 있어서 다 쓰려고 하면 매우 힘들기도 합니다.
그래서 여기서 보기 편하게 두 개의 변수를 정의하고 가겠습니다.

이 베타와 감마라는 변수정의로 다시 matrix를 써보겠습니다.

이며

으로 결국 표현할 수 있습니다.
풀어쓰면

그런데 이 matrix를 보면 t라는 시간 단위와 x, y, z의 공간 단위의 합으로 단위가 달라서 복잡합니다.
그래서 앞으로 상대론에서는 시간을 t가 아닌 ct로서 정의합니다.
ct는 공간 단위지만 바로 c를 나눠줌으로서 t단위를 얻을 수 있기 때문에 앞으로 시간 단위로서 사용합니다.
따라서 x⁰=ct라고 정의합니다.

에서 모든 좌표값을 공간단위로 표현하겠습니다.

으로 나타내며

으로 표현한다면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

결국 A’에서 발생한 사건(event)=(로렌츠 변환)*(A계의 event)으로 앞으로 위와 같은 matrix를 사용합니다.
이제 로렌츠변환의 유도는 끝이 났습니다.

하지만, 아직 한 방향만 고려했다는 한계가 있습니다.
그래서 다음 시간에 이 로렌츠 변환행렬을 임의의 방향에 대한 변환행렬로 일반화한 결과를 소개하겠습니다.

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요즘 수식만 잔뜩 나와서 어렵고 재미없으시리라 생각됩니다…
하지만!! 뒤에 나올 시간 지연 및 여러 상대론적 특징들을 설명할 때는 다양한 예시를 들어가면서 소개할 예정이니 조금만 기다려주세요!
오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”