[특수상대성이론] 갈릴레이 변환

안녕하세요 @chosungyun입니다.

저번 포스팅에서 좌표계의 필요성과 관성계 비관성계의 차이를 알아보았습니다.
그렇다면 오늘은 좌표변환이라는 개념을 알아보겠습니다.

좌표변환이란 무엇일까요?

좌표를 변환한다… 좌표를 우리가 운동하는 대상을 편리하게 서술하기 위한 도구라고 했었으니 이를 변환한다는 것은 이 기준을 바꾼다는 뜻이 됩니다.

그럼 이러한 좌표변환을 왜 쓸까요?

간단하게 예를 들어보죠.
회전하는 물체가 있을 때 이 회전하는 물체는 저번 시간에 말했듯이 우리가 보는 관찰자 입장에서 이 운동을 서술하기에는 조금 복잡해집니다. 하지만, 회전하는 대상의 기준에서 운동을 서술하면 조금 더 쉬워질 겁니다.

혹은 똑같은 속도로 달리는 버스를 생각해봅시다.
저와 여러분은 버스를 탑승했고 저는 자리에 앉았습니다. 같은 버스를 탑승한 여러분은 저와의 거리가 얼마인지 쉽게 설명할 수 있습니다.

한편 제가 버스를 탑승했지만 여러분들은 버스를 놓쳤다고 합시다. 버스가 달리는 것을 보고 있던 여러분은 버스에 앉아있는 저를 설명하기 위해 버스가 얼마로 가고 있다고 말해야 합니다.

하나의 식이 늘어났죠.
이러하듯 좌표변환은 우리가 보는 대상의 운동은 관찰자의 시점이 바뀐다고 바뀌는 것이 아니므로 그 운동에 대응하는 변화가 좌표변환에 적용돼야 합니다.

이때 대상이 관성계에서 관성계로 변환하는 등속도의 상황이 있을 때 이러한 변환을 갈릴레이 변환이라고 합니다.

갈릴레이 변환은 대상이 등속도로 움직일 때 그 대상의 기준으로 대상에 붙어있는 계와 관찰자의 시점에 붙어있는 계 사이의 관계를 나타냅니다.
즉, t=0인 상황에서는 두 좌표계가 같고 시간이 지나더라도 v의 등속도에 의한 차이만 존재할 뿐 두 좌표계에서 바라보는 물리는 변하지 않습니다.

한편, 만약 버스가 가속을 하고 있다면 우리 몸이 뒤로 쏠리는 것처럼 관성력이 작용하며, 이때는 관성계가 아닌 비관성계로 갈릴레이 변환을 적용할 수 없습니다.
그래서 우리는 등속도인 상황만 보겠습니다.

우선 1차원을 기준으로 구해보면 다음과 같습니다.
거리=속도*시간이고 시간(t)은 좌표계간 변화없이 똑같이 흐릅니다.

X’계는 X계로부터 t시간 후 vt만큼 멀이지게 되니까 X’에서 본 대상은 X계가 본 위치에서 vt만큼 빼준값이 됩니다.
직관적으로 생각해봅시다.
X계에 정지한 누군가와 X’계에 누군가가 서로 전화를 하고 있다고 생각해보세요.
그리고 저는 달리는 버스안에 탑승했고 이 버스는 50m/s의 등속도로 x계를 기준으로 멀어지는 방향으로 달립니다.
저는 뒤에서 두번째 자리에 앉아있고 통화를 하면서 저의 위치를 설명한다고 합시다.
그럼 먼저 X계에 서있는 누군가가 저의 위치를 설명합니다.
그러니까 sungyun은 50m/s로 멀어지는 버스안에서 뒤에서 두번째 자리에 앉아있어! 라고 말할 수 있습니다.
맞죠?
한편, 같은 버스안에 탑승한 통화하고 있던 대상은 이렇게 말합니다.
음… 내눈에는 말이지… 뒤에서 두번째 자리에 앉아있는 sungyun이 보여! 라고 말이죠.

즉, 같은 계(X’) 계에 있는 대상입장에서는 X계에서 설명한 위치 값에서 vt만큼의 이동한 값을 빼주면 될 겁니다.

이러한 결과는 반대의 상황에서도 통합니다.
이번에는 제가 달리는 버스 안이 아니라 내렸다고 합시다.
그럼 어떻게 설명할 수 있을까요?
똑같습니다. X’계 입장이 X계라고 생각하며 X계가 반대방향으로 간다고 생각하면 됩니다.
이렇게 생각하면 다음과 같이 나오게 됩니다.

즉, 결론은 좌표를 변환하는 것은 상대적인 표현일뿐이다.

이러한 결과를 3차원 공간에서 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

위 식에서 A‘계에서 발생한 사건과 A계에서 발생한 사건이 일정한 관계가 있음을 어떠한 행렬로 설명합니다.
이 행렬을 갈릴레이 변환행렬이라고 하며 우리가 사는 모든 고전 상황에서는 이 변환 행렬을 사용할 수 있습니다.

다만, 특수상대론에서는 이 변환관계를 사용할 수 없습니다.

그럼 왜 이렇게 열심히 설명했냐구요?

다 쓸모가 있습니다..!!

특수상대론에서 사용하는 로렌츠 변환행렬은 이 갈릴레이 변환행렬을 수정하여 적용하기 때문입니다.
그래서 알아야만하죠.

그럼 왜 이 갈릴레이 변환을 사용할 수 없을까요?

자, 우리 모두가 아는 사실이 하나 있습니다.
빛의 속도는 ?
일정하다 입니다.
30만km/s로 말이죠.
빛은 이보다 빠를 수는 없습니다.
이것은 사실 아주 크나큰 화제거리였습니다. 뉴턴시대만 하더라도 빛의 속도는 일정하다고 생각을 못했었고 나중에 여러 실험들로부터 빛의 속도가 일정하다는 것이 증명되었습니다.
이내용은 다음시간에 다루도록 하겠습니다.

다시 본론으로 들어와 빛은 30만km/s를 넘을 수 없습니다.
그래서 갈릴레이 변환은 치명적인 문제점이 발생합니다.

관성계에서 관성계로의 변환일 때 각각의 관성계에서는 우리가 아는 물리법칙이 똑같이 적용이 되어야 합니다.
그런데 예를 들어 20만km/s로 멀어지는 우주선이 있다고 합시다. 그리고 다시 이 우주선에서 20만km/s의 속도로 미사일을 발사했다고 가정해봅시다.

갈릴레이변환은 상대적이니까 정지한 사람입장에서 본다면 두개의 속도를 합산한 결과로 멀어져야 할 겁니다.

그럼 지구에서 이 미사일을 관측하면 갈릴레이 변환을 따라가면 40만km/s의 속도로 멀어져야 합니다.

그런데 30만km/s의 속도를 넘을 수 있을까요?
이것은 불가능합니다.

따라서 만약 속도가 일정 속도 이상 올라가면 갈릴레이 변환을 사용할 수 없음을 알 수 있습니다.

그래서 우리는 새로운 변환을 도입할 겁니다.

그러나 이 도입을 소개하기 전에 어떻게 빛의 속도가 불변인 것인지 잠시 알아보고 넘어가도록 하겠습니다.
여기서 포스팅을 마칩니다. 감사합니다!

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요즘 오랜만에 상대론을 다시 보면서 예전에 공부할 때 대충 대충 보고 넘어간 부분들도 제법 있어서 그러한 부분을 다시 이해하면서 천천히 써야겠습니다.
거기다 자투리시간만 활용해서 보기 때문에 좀 포스팅이 늦어질 수 있습니다..ㅎㅎ
아무튼 앞으로 수식이 많이 등장할텐데 제가 할 수 있는 한 노력해서 과정을 세부적으로 적어보겠습니다.

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”