[수학] 정수의 합 공식 // 다양한 사고

오늘은 정수의 합 공식에 대해서 다루어 보려고 합니다.

바로

이 식을 처음 증명(?) 한 것은 피타고라스라고 하네요 [피타고라스 학파에서 한거겠죠? ]

[저 n 이 무한대가 되는 경우에 아주 재미있는 일이 생기는데 ㅋㅋㅋ

이미 예전에 관련 글을 쓴 적이 있지요 , 제타함수 관련 포스팅을 한 4~5편 올렸었는데 ㅋㅋㅋ 이제는 내려서 일일이 찾기가 힘들어졌군요

무려 6개월 전 글이군요 ㅎㅎ
https://steemit.com/kr-math/@beoped/1-2-3-1-12-regulator

오늘은 무한 합에 대한 이야기를 하고자 하는게 아닙니다 ㅎㅎ

오늘 다룰 내용은 고등학교 수업 내용에서 크게 벗어나지 않습니다.

]

이 식의 직관적 이해라고나 해야될까요 직관적 증명 중 하나를 가우스가 제공했지요

바로 평균과 전체 갯수의 관점으로 n/2 *(n+1) 방식이 가장 잘 알려져 있습니다.

시각적으로는

[이미지가 대빵 크군요 ㅋㅋㅋ]

혹시 다른 재미있는 방법들(?)은 없을까요?

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계산 쟁이인 제가 처음 생각한 방법은 등비급수의 미분으로부터 시작합니다.

그 뒤에는 x=1 로 보내는 극한을 취하면 됩니다. 사실 분자를 잘 인수분해해서 상쇄해도 되기는 한데.. 그냥 로피탈 정리가 있으니 사용합시다. 분자와 분모를 모두 두번 미분하시고 1을 대입하면 원하는 결과를 얻습니다 ㅎㅎ

이 증명의 가장 큰 문제점은 바로 등비급수 공식을 알고 있어야 한다는 점..

정수의 합을 확장한 등차수열 합 공식도 모르는데 등비급수 공식을 알고 있을리가 없지요...

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또 없을까요?

일단 바로 생각나는것은 교과서, 수능에도 나온 방법인 수학적 귀납법을 이용한 방법이 있지요

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물론 조합론을 이용해서도 이 공식을 증명할 수 있지요

아이디어는 바로 이렇습니다.

1부터 n 까지의 수 중에 임의의 수 x, y 가 주어졌을때 y가 x 보다 클 경우의 수를 구해봅시다.

x=1 일때 y 는 n-1 개

x=2 일때 y 는 n-2 개 ㅋㅋㅋ

즉 저 가능한 모든 경우의 수는

1+2+.... +(n-1)

이라는 것을 알 수 있지요

자 이 경우의 수를 다시 해석해 봅시다.

임의의 x,y 가 가지는 전체 경우의 수는 n^2 개이지요

그 중 x=y 인 경우는 n 개 이고요 그 외의 경우는 x >y 이거나 y<x 일테고 대칭성에 의해 두 경우는 같은 값을 가집니다.

즉 이로 인해

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또 없을까요?

엄청 많습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ

그래프 이론을 이용한 증명도 있고요

그냥 Sigma 를 포함과 배제를 이용해서 풀어서 보이는 방법과

조금 고급 수학(?), 선형대수학을 이용해서 n 번쨰의 합과 n+1번째의 합 solution 을 구하는 방식으로도 구할 수 있고

제곱의 합 공식을 안다는 조건에서 미분을 해서 구하는 방식, 제곱의 차를 이용한 방식... 등등

거기다가 제가 알지 못하는 여러 방법들이 더 있겠죠

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같은 식, 같은 결과를 보더라도 어떤 관점에서 보느냐에 따라서
사람들마다 매우 다른 해석을 냅니다.

수학 퀴즈 책이 오면 책의 문제들을 보고 여러가지 다양한 생각들을 나누어 보고 싶네요 ㅎㅎ

ㅋㅋㅋ

끝으로 오치님의 짱짱맨 이벤트를 소개합니다

https://steemit.com/kr/@virus707/5qw7jg