퀴즈 514 사변형 변의 길이

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어떤 사변형의 길이를 a,b,c,d 라 하자

이 때 a^2 + b^ 2 + c^2 > 1/3 d^2

임을 보여라

풀이

고등학교 때 인수분해 하면서 많이 배웠던 부등식 하나를 생각하면 자동으로 나온다.

먼저 사변형의 길이 조건으로부터 a+b+c>d [세변의 길이의 합은 다른 한변보다 크다] 그리고 잘 알려진 이 공식을 쓰면 끝이다.

퀴즈 515 자연수 a,b,c

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a^2 + b^2 = 4c + 3 을 만족하는 자연수 a,b,c 를 모두 찾아라

풀이

그런 자연수는 없다.

간단하게 부연 설명을 더 해보자. 먼저 우변인 4c+3 은 항상 홀수이다. 그리고 좌변을 분석해보자.

a 와 b 가 모두 짝수 혹은 홀수이면 a^2+ b^2 은 항상 짝수가 된다. 그러니 생각해 보아야 할 경우의 수는 a 가 짝수 b 가 홀수 인 경우만 보면 된다. 간단히 a=2k, b=2m+1 이라고 놓고 전개해보자.

그러면 나머지가 1이 된다는 것을 알 수 있다. 즉 우변이 4c+3 이 되게 하는 자연수 a,b,c 는 존재하지 않는다.