La función logaritmo natural

En esta oportunidad quiero presentar el tema del logaritmo natural, para ello tracemos la gráfica de la función f(t)=1/t , donde t ≠0, y enfoquemos nuestra atención en el primer cuadrante del sistema de ejes coordenados.
Veamos la imagen:

Centremos nuestra atención en el área R bajo esa curva, limitada por las rectas x=1 y x, donde x>1 (pero x también puede ser 0<x<1)
En la siguiente imagen se encuentra sombreada el área R:

Esa área R limitada por las rectas x=1 , x donde x puede ser mayor o menor que 1 (x siempre será mayor que 0) y la curva y= 1/t ( donde t debe ser diferente de 0);recibe el nombre de logaritmo neperiano de x, y se denota Lnx.

Es decir que el logaritmo neperiano es un área entre curvas, por ello se expresa como una integral definida, ver fórmula en la imagen.

Si aplicamos derivada en ambos lados de la igualdad mostrada en la imagen:

Y aplicando Regla de la Cadena, vemos que:

Veamos un ejemplo de aplicación:
D_xLn(5x⁴-1)=[1/(5x⁴-1)]D_x[(5x⁴-1]=[1/(5x⁴-1)][20x]=20x/(5x⁴-1)

También se puede probar que:

D_xLn|x|=1/x donde x≠0.

Supongamos que x>0, entonces |x|=x, y entonces D_xLn|x|= D_xLnx= (1/x).(1)=1/x
Y si x<0, entonces D_xLn|x|= D_xLn(-x)= (-1/x)(-1)= 1/x
Por ello:
∫1/xdx=Ln|x| + C, donde x≠0
Generalizando a través de la "Regla de la cadena"
Se concluye que:

∫(1/u)du=Ln|u| + C, donde u≠0

Veamos el siguiente ejemplo de aplicación.
∫[x/(4x²+1)]dx
Si hacemos u=4x²+1
Entonces du= 8xdx
Dsepejando xdx=du/8
Sustituyendo en la integral, se tiene:
∫[x/(4x²+1)]dx=1/8∫du/u =1/8∫[1/u]du= 1/8[ln|u| +c]= 1/8[ln|4x²+1| +c]
=(1/8)ln|4x²+1| +(1/8)c=(1/8)ln|4x²+1| +k, donde la constante de integración k=1/8c

Referencia:
https://docs.google.com/file/d/0B8wx9bEA31Jzc0tyTVlWOHgycnc/edit