Daré las definiciones, explicaré con algunos ejemplos, y finalmente concluiré con dos observaciones importantes.

Comencemos:

Consideremos la siguiente matriz:



Y su traspuesta

Observe que A=A^t

Una matriz cuadrada A tal que A^t=A recibe el nombre de matriz simétrica.
Esto es:

Si A=[a_ij] es una matriz simétrica, entonces a_ij = a_ji para todos los valores de i y de j.

Demostrar que si A=[a_ij] es una matriz cuadrada, la matriz B=[b_ij]= A + A^t es simétrica.


Escojamos el elemento a de la fila i columna j de A, es decir a_ij y sumemoslo al elemento correspndiente de A^t, este es a_ji. Esto es: a_ij + a_ji, lo cual llamaremos b_ij. Entonces cada b_ij=b_ji.
Con lo cual demostramos que B es simétrica.

Una matriz cuadrada A tal que A^t= -A se dice que es hemisimétrica o antisimétrica. Esto significa que a_ij= - a_ij para todo ij.
Veamos un ejemplo:

Sea , su traspuesta es: , si aplicamos propiedad de la multiplicación de un escalar por una matriz nos resulta que

1.- Si A es una matriz cuadrada, la matriz A -A^t es hemisimétrica.
Debemos probar que [A -A^t]^t= - (A -A^t)

En efecto

Si aplicamos las propiedades de la traspuesta de una matriz, tendremos lo siguiente:
[A -A^t]^t= A^t - (A^t)^t= A^t - A = -(A - A^t)

Con lo cual probamos lo deseado.

2.- Toda matriz cuadrada A se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y otra hemisimétrica

Es fácil verificar que B+C=A

Aplicando propiedades de la trasposición de matrices y el producto de un escalar por una matriz, verifiquemos que C es hemisimétrica:

En efecto:


Con lo cual probamos lo deseado.