Matriz simétrica y matriz antisimétrica

in castellano •  2 months ago

A continuación quiero explicar dos conceptos importantes de las matrices, ellos son:

Matriz simétrica y matriz antisimétrica


matrizsimetrica y matri antisimetrica.jpg.png

Imagen creada por @analealsuarez

Daré las definiciones, explicaré con algunos ejemplos, y finalmente concluiré con dos observaciones importantes.

Comencemos:

Consideremos la siguiente matriz:



Y su traspuesta

Observe que A=At

Una matriz cuadrada A tal que At=A recibe el nombre de matriz simétrica.
Esto es:

Si A=[aij] es una matriz simétrica, entonces aij = aji para todos los valores de i y de j.



Demostrar que si A=[aij] es una matriz cuadrada, la matriz B=[bij]= A + At es simétrica.


Escojamos el elemento a de la fila i columna j de A, es decir aij y sumemoslo al elemento correspndiente de At, este es aji. Esto es: aij + aji, lo cual llamaremos bij. Entonces cada bij=bji.
Con lo cual demostramos que B es simétrica.


Una matriz cuadrada A tal que At= -A se dice que es hemisimétrica o antisimétrica. Esto significa que aij= - aij para todo ij.
Veamos un ejemplo:

Sea , su traspuesta es: , si aplicamos propiedad de la multiplicación de un escalar por una matriz nos resulta que


1.- Si A es una matriz cuadrada, la matriz A -At es hemisimétrica.
Debemos probar que [A -At]t= - (A -At)

En efecto

Si aplicamos las propiedades de la traspuesta de una matriz, tendremos lo siguiente:
[A -At]t= At - (At)t= At - A = -(A - At)

Con lo cual probamos lo deseado.

2.- Toda matriz cuadrada A se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y otra hemisimétrica

Es fácil verificar que B+C=A

Aplicando propiedades de la trasposición de matrices y el producto de un escalar por una matriz, verifiquemos que C es hemisimétrica:

En efecto:


Con lo cual probamos lo deseado.


Referencias:
Frank Ayres, JR.(1978). Matrices.McGraw-Hill

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