Foto tomada con mi telefono celular, Puerto Madryn, Patagonia, Argentina, 2012.

Esta es mi segunda entrega de la serie Mis trabajos académicos, en el mismo hablaré un poco de la tesis de maestría, la cual realice para obtener el titulo de Magister Scientiarum en Matemáticas. Dicho título lo obtuve en la Universidad de Oriente en el año 2009. Esta tesis, esta desarrollada en el área de #matematicas, fue una #investigacion que desarrolle en el Laboratorio de Alto Computo y el de Matemáticas Aplicadas a la Industria. Espero que si se toman un poco de tiempo en leerlo, les pueda gustar e interesar el tema en cuestión.

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Estudio de Rutas a Caos en un Flujo Centro Anular con Surfactantes Insolubles

Resumen

La presencia de surfactantes en una interfaz fluido-fluido puede tener un efecto substancial en la evolución de tal interfaz. Los surfactantes insolubles, en general, separan medios acuosos de medios no acuosos. La influencia de surfactantes en la dinámica interfacial va en dos caminos. Primero, la mayoría de los tipos de surfactantes reducen la tensión interfacial. Segundo, la presencia de un gradiente en concentraciones de surfactantes, introduce la fuerza de Marangoni. En general, la fuerza de Marangoni actúa oponiéndose a cualquier flujo externo que provoque el aumento o exceso de surfactantes en regiones a lo largo de la interfaz. Kas-Danouche, Papageorgiou, y Siegel, estudiaron la influencia de surfactantes insolubles en flujos centro-anulares, donde el líquido central está rodeado por otro líquido anular. Desarrollaron un modelo matemático para flujos centro-anulares confinados en un tubo cilíndrico con surfactantes insolubles en la interfaz entre los dos fluidos, obteniendo el sistema acoplado de dos ecuaciones integro-diferenciales parciales no lineales, donde en un caso, los términos integrales que representan la estratificación de la viscosidad desaparecen. Si, además, si consideramos un parámetro de la ecuación, igual a cero, el sistema se reduce a la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky. Esta ecuación es muy inestable y en el estudio de la misma se han encontrado diversos comportamientos de soluciones que van desde ondas de estado estacionario, ondas periódicas en tiempo con duplicación de período hasta llegar a situaciones caóticas. En el 2002, Kas-Danocuhe demostró para ciertos parámetros la no aparición de caos. Sin embargo, hemos encontrado comportamiento caótico para otros parámetros, lo cual es muy interesante. De allí la importancia de esta investigación en la cual queremos explorar posibles rutas que conduzcan a comportamientos caóticos del sistema.

Introducción

Un modelo es una representación de la realidad, que simplificamos de alguna manera para poder estudiarlo y manipularlo.

Un modelo matemático es un esquema, una ecuación, un diagrama o una teoría que representa matemáticamente una situación de la realidad, como pueden ser fenómenos físicos, químicos, biológicos, entre otros. Un modelo matemático es la representación en términos y expresiones matemáticas, realizada en función de la abstracción de un fenómeno de la vida real. Uno de los primeros, y también uno de los principales, usos de los computadores ha sido resolver problemas en Ciencia e Ingeniería, y más concretamente, obtener soluciones a modelos matemáticos que representan una situación física.

Las técnicas usadas para obtener esta solución son parte de la llamada Computación Científica, e inevitablemente, tienen mucho que ver, por una parte, con las Matemáticas y, por otra, con la Computación. Los modelos matemáticos que provienen de gran variedad de problemas fı́sicos, en general, son sistemas de ecuaciones diferenciales, que pueden ser ordinarias o en derivadas parciales. Las ecuaciones diferenciales pueden alcanzar gran complejidad que incluso con los potentes computadores actuales estamos lejos de conseguir resolver muchos problemas científicos o de ingeniería. Sin embargo, hay muchos otros modelos matemáticos que sí son posibles de resolver, y cada uno tiene sus propios retos.

Existen diferentes estudios de modelos matemáticos para resolver problemas físicos, como por ejemplo, los problemas derivados de la Dinámica de Fluidos. Algunos de estos problemas son los desplazamientos de líquidos en medios porosos; en el caso de la industria petrolera está el transporte de crudo a través de los oleoductos, donde el líquido central es petróleo, y el que lo recubre es agua, el cual actúa como lubricante.

En este caso, son muy importantes las aplicaciones tecnológicas y científicas que se puedan desarrollar. Dentro de este problema de transporte de crudo se pueden presentar diversos regímenes de flujo, como lo son: flujos estratificados con fluido pesado, burbujas de petróleo con sedimentos en el agua, ondas de bambú, ánulos de agua que cubren el crudo concentrado en el centro del flujo, y emulsiones de agua con petróleo, las cuales no se desean cuando se transporta el crudo a través de tuberías. Cabe señalar, que en muchos de estos casos ocurre turbulencia, en especial para el caso de emulsiones que es un resultado de la existencia de turbulencia en el sistema. En términos matemáticos, la presencia de turbulencia en un sistema se puede identificar con la existencia de soluciones caóticas al resolver un modelo matemático en particular.

Éstos son algunos de los problemas, de muy alto interés para resolver aplicando modelos físicos-matemáticos que puedan ayudar a encontrar soluciones de los mismos. En este trabajo se propone explorar numéricamente rutas que conducen a soluciones caóticas del problema de un flujo centro anular con surfactantes insolubles distribuidos en la interfaz entre ambos fluidos siguiendo el modelo desarrollado por Kas-Danouche (2002) en su tesis doctoral.

Abdul Abner Lugo Jiménez
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