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Seguimos con la temática geometría aquella que junto al álgebra fortalecen el impresionante carácter analítico de las matemáticas, dicha propiedad la hemos utilizado para el fabuloso análisis del esencial nexo entre la espectacular ciencia física y las imprescindibles matemáticas. A través del maravilloso fenómeno del movimiento hemos podido demostrar claramente que la ciencia representará por siempre el preciso eslabón entre nuestro complejo universo y nosotros.

En nuestras mentes al referirnos a la palabra caos de inmediato se activan nuestras alarmas corporales como la inquietud, impaciencia, es decir, angustia para redondear la idea, sin embargo, la ciencia ya nos tiene acostumbrado a que algunas palabras que ella utiliza no tienen el mismo significado en el lenguaje común o corriente y por lo tanto dichas palabras por lo general tienen características abstractas para el lenguaje cotidiano, la palabra caos representa uno de estos claros ejemplos, en donde la ciencia la hace suya para evidenciar una extremada sensibilidad en relación a las condiciones iniciales de ciertos sistemas tanto naturales como mecánicos no lineales.

Cuando nos referimos a la sensibilidad en las condiciones iniciales de un determinado sistema, estamos expresando que dos puntos cualesquiera de dicho sistema pudiesen tener movilidad a través de trayectorias muy distintas una de la otra, inclusive, si dicha diferencia con las condiciones iniciales son muy pequeñas en su respectivo espacio de fases, representando este último (espacio de fase) todo el conjunto de posibles configuraciones para un sistema específico o dado, por ejemplo, para analizar el aspecto cinemático de un péndulo podríamos determinar para el mismo una configuración mediante el conocimiento tanto de la velocidad angular (ω) como del ángulo (α) debido a que uno solo no bastaría, para este caso el espacio de fases tendría dos dimensiones.

En el estudio de este tipo de sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales de un determinado sistema lo representa el histórico ejemplo del efecto mariposa, en donde, el delicado aleteo de las alas de este bello lepidóptero pudiese originar delicados cambios en nuestra atmósfera y los mismos al pasar del tiempo podrían transformarse en cualquier fenómeno tan devastador como una tormenta, comprobando que por muy pequeña que sea la diferencia con las condiciones iniciales de un determinado sistema como el originado por el aleteo de una mariposa la evolución de dicho sistema sería bastante drástico.

Es importante tener en cuenta que el objetivo principal de la teoría del caos es evidenciar que determinados sistemas naturales al ser sometidos a algún tipo de cambios por muy pequeño que este sea en sus condiciones iniciales, llevaría a dicho sistema a experimentar grandes divergencias en los resultados como el expuesto anteriormente con el efecto mariposa.

Nuestra propia existencia está relacionada con tal fenómeno debido a que vivimos inmersos en el caos, siendo el primer investigador de este fenómeno el meteorólogo Edward Lorentz cuando utilizó un modelo matemático con la finalidad de predecir el tiempo, dicho modelo estaba constituido por un sistema de 12 ecuaciones no lineales, en donde utilizaba un ordenador para tal simulación, en la cual obtenía una aproximación o probable comportamiento de la atmósfera, al querer repetir dichos cómputos introdujo nuevamente los respectivos valores en dicho ordenador pero esta vez utilizando 3 decimales en lugar de 6 como inicialmente lo realizó, y pudo notar que dicho resultado era totalmente distinto al calculado anteriormente, este hecho condujo a la teoría que conocemos hoy como la teoría del caos.

Resaltando de esta manera la idea fundamental de este principio, en donde a diferencias muy pequeñas en relación a las condiciones iniciales de un determinado sistema estas tenían gran impacto en el resultado del problema, entonces, como expresamos anteriormente a esta característica de las pequeñas diferencias iniciales las conocemos como efecto mariposa.

Cuando Lorentz realiza tal descubrimiento la preocupación que inmediatamente le surgiría era la imposibilidad de poder presagiar con exactitud el debido comportamiento de un determinado sistema, ya que por las fallas o errores de cálculo de los instrumentos, todas las medidas se verían afectadas y en consecuencia imposibilitaría poder conocer con exactitud las respectivas condiciones iniciales de la mayoría de los sistemas dinámicos, sin embargo, Lorentz pudo notar que la solución de aquellos sistemas los cuales parecían comportarse como un hecho totalmente al azar, luego de observarlos constituidos en gráficas, es decir, a través de curvas o representaciones geométricas pudo concluir que dicho resultado siempre representaba una determinada región del espacio y la cual adquiría la forma o figura geométrica de una espiral doble.

Mediante el comportamiento de un sistema dinámico implementando la solución del sistema de Lorentz, dichas soluciones son siempre ordenadas ya que dibujan un espiral doble y no se detendrán en un punto, ni se repetirán y tampoco serán periódicas, a esta representación geométrica se le denomina Atractor de Lorentz, y esta debe cumplir también la condición de no cortarse a sí misma ya que si esto ocurre se originaría dos curvas distintas desde de dicho punto de corte.

Es vital poder resaltar nuevamente algunas características importantes de este tipo de sistemas caóticos, ya que los mismos siempre serán muy sensibles en cuanto a las condiciones iniciales, por lo que un muy pequeño cambio en sus respectivos datos iniciales darán como origen a resultados ampliamente divergentes, estos sistemas parecen ser desordenados o productos del azar, pero definitivamente no lo son debido a que se rigen por ciertas reglas que modelan su comportamiento, resaltando que todo sistema producido al azar no representaría a un sistema caótico.

Teniendo claro que un movimiento caótico es muy complejo e imposible de predecir, la descripción del caos en nuestro cuerpo u organismos representa uno de los más claros ejemplos de dichos sistemas caóticos esto es debido a que sería imposible poder predecir el movimiento que tendrá cualquier partícula internamente en nuestro sistema de órganos los cuales conforman el cuerpo humano, entre muchos otros acontecimientos relacionados a la evolución particular de cualquier organismo de determinada persona.

A la geométrica analítica claramente la podríamos denominar la geometría del movimiento, debido a sus grandes dotes y lugares geométricos implementados en el análisis de todos aquellos movimientos presentes en nuestro entorno, y como siempre, imposible no mencionar al maravilloso y abstracto lenguaje de esta ciencia ya que a través del mismo hemos ampliado el entendimiento en relación a nuestro entorno natural.

Vitales fenómenos relacionados a la movilidad de cualquier partícula, cuerpo u objeto nos hemos encontrado durante el estudio del movimiento en general, en donde, cualquier movimiento ante descrito transitó por un determinado lugar geométrico y entre las figuras que hemos conocidos y utilizados se encuentran la línea recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, así como un fragmento de alguna de las anteriores figuras o incluso la combinación de ellas, de igual forma cualquier tipo de curva de diferentes formas.

Un movimiento caótico pudiera llevarse a cabo tanto en un sistema mecánico como en uno natural, en donde, encontramos ejemplos tales como el péndulo doble caótico cuya movilidad de sus masas acopladas describirán y seguirán el lugar geométrico de alguna forma o figura, al centrarnos en las masas notaremos que ambas sujetas a una cuerda o varilla rígida dibujarán en algún momento en su desplazamiento (al igual que en el péndulo simple) una porción de circunferencia ( la cual es una de innumerables curvas que podrían describir ambas masas pendulares), por lo general, el ángulo oscilador de la primera masa (masa superior) será menor que el ángulo relacionado a la segunda masa (masa inferior), esto es debido a que dicho sistema es dependiente de sus condiciones iniciales para su evolución.

El comportamiento de un péndulo doble caótico en cuanto a la descripción de sus trayectorias es muy complejo debido a que el mismo se moverá en cualquier dirección en un determinado plano, esto hace que ambas masas puedan dibujar cualquier lugar geométrico al momento de sus desplazamientos ya que predecir un movimiento particular en un sistema caótico es imposible, sin embargo, de manera general el mismo siempre mantendrá el orden entre sistemas del mismo tipo, debido a que el comportamiento entre tales sistemas serán similares desde una visión general.

La geometría analítica en el movimiento caótico juega un imprescindible papel al igual que en otros tipos de movimientos, esto es debido a que cualquier línea bien sea recta o curva servirá como vía para el desarrollo de estos tipos de fenómenos, como lo hemos notado en los anteriores análisis de movimientos tales como el rectilíneo, circular, parabólico, elíptico, hiperbólico, oscilatorio, vibratorio y ondulatorio, los cuales también pudieron ser analizados a través de curvas armónicas como la de las funciones seno y coseno debido a la periodicidad de muchos de ellos.

En el caso del movimiento caótico se dibujan curvas muchos más complejas debido a su resaltante característica de impredecibles como las que se pueden observar en el recorrido de las masas de un péndulo doble, en donde entre tantas curvas también es posible poder encontrar la porción de una circunferencia pero al aumentar la evolución de dicho sistema en relación a su movilidad el innumerable conjunto de curvas generan una magnifica figura de forma de una mariposa (atractor de Lorentz) la cual es una clara representación geométrica compleja y a su vez un aspecto característico de los sistemas con movimientos caóticos, como lo podemos observar en la siguiente figura 1.

De esta manera seguimos consolidando la importancia de la geometría analítica tanto en análisis y estudio del fenómeno del movimiento como en cualquier otro análisis relacionado a cualquier fenómeno natural o artificial, por lo tanto todo el campo de la ciencia siempre encontrará en la geometría analítica el mejor de los aliados para la correcta interpretación de cualquier fenómeno de nuestro universo según sea el caso requerido.

Movimiento Caótico

En nuestra cotidianidad podemos decir que implementamos el término caos cuando hacemos referencia a un tipo de desorden de cualquier índole, sin embargo, en la ciencia física esta palabra la utilizamos para darle sentido de comportamiento a aquellos sistemas tantos físicos como mecánicos los cuales evolucionan en un determinado tiempo y dependiendo extremadamente de sus condiciones iniciales.

Durante el desarrollo tanto de nuestra historia como de nuestra capacidad intelectual hemos podido notar que cualquier sistema físico tiene la capacidad de evolucionar de alguna manera con el pasar del tiempo, y cuya evolución estará vinculada a las condiciones iniciales de dicho sistema. Por lo general, en un sistema mecánico sus condiciones iniciales estarán determinadas tanto por la posición como por la velocidad de cada partícula que lo conforma, por ejemplo, un determinado sistema mecánico constituido por una partícula sujeta a un resorte y la cual es apartada o alejada de su posición de equilibrio estable a una distancia A, encontrándose en dicho punto inicial en reposo o inmóvil, por lo tanto, el mismo evolucionará llevando a cabo un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuya amplitud claramente estará determinada por el valor de A.

En un sencillo sistema masa-resorte al modificarle aunque sea ligeramente la posición inicial de la partícula unida al resorte, esto hará que cambie ligeramente la amplitud del referido movimiento, sin embargo, el mismo seguirá siendo un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), por lo tanto, podríamos decir que la modificación de la posición iniciar de la partícula será proporcional a la amplitud resultante para dicho movimiento, es decir, para este caso una pequeña variación originará una pequeña evolución del sistema mecánico antes planteado.

Pero no siempre nos encontramos con este tipo de sistemas sencillos, ya que hay sistemas más complejos en donde pequeñas variaciones en sus condiciones iniciales originarán grandes variaciones en cuanto a la evolución de dicho sistema, por lo que a este tipo de sistemas más complejos y que los cuales son fuertemente dependientes de sus condiciones iniciales los conocemos como sistemas caóticos.

En el análisis del movimiento oscilatorio conocimos al péndulo simple el cual es un claro ejemplo de este tipo de fenómenos oscilatorios, en cuanto a la representación de un sistema caótico encontramos como un esencial ejemplo al péndulo doble, el cual se encuentra constituido por dos masas acopladas, y cuyo efecto caótico es más fácil de visualizar cuando las ligaduras l1 y l2 sean rígidas, este péndulo cuando lo hacemos oscilar ligeramente se comportará como un oscilador acoplado sencillo, sin embargo, al aplicarle mayor fuerza, y por lo tanto mayor amplitud, su comportamiento dejará de ser de fácil descripción , más adelante estaremos analizando este tipo de sistema pendular doble.

Cuando realizamos algún tipo de medición, dicha medición tendrá siempre una limitada precisión, por ejemplo, si estamos realizando un determinado análisis con el péndulo doble caótico y al soltarlo siguiendo una determinada posición inicial, al repetir dicho movimiento modificando ligeramente los ángulos iniciales (bien sea aumentándolos o disminuyéndolos) dicho movimiento que observaremos será totalmente diferente al inicial.

A pesar que los sistemas mecánicos juegan un importante papel en nuestras vidas, es importante resaltar y saber que este tipo de comportamiento caótico no solo se limita a estos tipos de sistemas, debido a que el mayor avance sobre la teoría del caos se han conseguido en fenómenos meteorológicos, la atmósfera con sus nubes así como el viento y cada uno de los distintos gradientes térmicos de sus capas, constituyen un claro sistema no lineal para el cual determinar sus condiciones iniciales con precisión no es tan sencillo, este tipo de análisis de la teoría del caos también se ha aplicado tanto en la óptica cuántica como en la electrónica, así como en reacciones químicas y también en la biología, por nombrar algunas áreas de estudios.

Cualquier tipo de sistema bien sea de tipo natural como mecánico tiene la posibilidad de evolucionar en relación al tiempo, es decir, los mismos poseen una o varias propiedades que cambian al pasar el tiempo, las distintas variables que se analizarían en cualquier sistema pudiesen tener cualquier valor distinto a cero, esto al momento en que la magnitud del tiempo (t) se comience a cronometrar, por tanto a estas variables son las que conocemos como condiciones iniciales.

Un determinado sistema dinámico podríamos claramente ser modelado a través de ecuaciones de carácter lineales (y por lo tanto las mismas no dependerían de funciones valiosas como las trigonométricas) que por lo general tendrán soluciones analíticas con resultados precisos, cuando aplicamos estos tipos de soluciones a ciertos sistemas los mismos no reaccionarán bruscamente (claro está en términos relativos) en relación a los cambios de sus condiciones iniciales, representando un ejemplo de ello el comportamiento de un péndulo simple.

Ahora bien llegamos al punto en donde queríamos llegar, el movimiento caótico, cualquiera de nosotros fácilmente o espontáneamente relacionaríamos el significado de caos con desorden esto desde un punto de vista cotidiano, sin embargo, pudiésemos expresar que una de las más importantes características del concepto de caos sería la falta de predecibilidad, es decir, poder saber cuándo ocurrirá.

Para que cualquier sistema dinámico tienda a ser caótico tiene que estar relacionado a dos importantísimas características esenciales; una de ellas está representada con la no linealidad y la otra a la alta sensibilidad relacionada a los cambios de las condiciones iniciales, por lo tanto podemos expresar que al alterar las condiciones con relación al tiempo inicial, el resultado de un determinado sistema caótico es impredecible.

El péndulo doble representa uno de los ejemplos más utilizado para introducirnos a la definición de caos, es importante resaltar que no contamos con alguna ecuación analítica que nos brinde una solución para aquellas ecuaciones diferenciales no lineales implementadas para modelar el comportamiento de dicho péndulo doble, esto nos lleva a realizar ciertas aproximaciones a través de métodos numéricos, en donde podemos tomar algunos valores discretos relacionados a la variable tiempo (t) para luego interpolar con la finalidad de poder obtener curvas que tiendan a ser más manejables.

A continuación analizaremos el comportamiento de un péndulo doble, en donde dicho sistema dinámico oscilará en un plano vertical sin la existencia de algún tipo de fuerza de amortiguamiento como se muestra en la siguiente figura 2.

Los ángulos utilizados son medidos en radianes a partir de sus respectivos puntos de equilibrios representados por sus verticales, considerando que las masas cuando se encuentren a lado derecho de su vertical su dirección será positiva y para su dirección negativa cuando estén del lado contrario al antes expresado. Al utilizar las proyecciones de las varillas las cuales están representadas por las líneas l1 y l2 sobre un sistema coordenado ubicado en la parte superior de dicho péndulo podemos establecer cada una de las posiciones de las masas que actúan en dicho sistema dinámico y las ecuaciones de tales posiciones son las siguientes:

Al ubicarnos en el punto de suspensión del primer péndulo y colocamos en ese lugar el nivel cero de la energía potencial, obtendríamos que la ecuación de dicha energía sería la siguiente:

Para obtener la ecuación que representa la magnitud de la velocidad de nuestro primer péndulo debemos realizar el producto entre la longitud o radio de circunferencia (l1) y su velocidad angular por lo que su expresión vectorial será:

En cuanto a la formulación para la magnitud de la velocidad de nuestro segundo péndulo el cual representa un sistema de referencia que se desplaza en relación a la velocidad V1 del primer péndulo, por lo tanto tenemos:

Tomando en cuenta la suma vectorial de las fórmulas 8 y 10 debido a que la velocidad de la segunda masa debemos calcularla con relación al sistema de referencia ubicado en la parte superior de nuestro primer péndulo, de esta forma podemos obtener la siguiente ecuación o expresión vectorial para V2:

La forma Lagrangiana de dicho sistema viene representado por L = Ec – Ep, a partir de esta relación obtenemos las formulaciones del movimiento de lagrange el cual nos lleva a un sistema de dos ecuaciones diferenciales ambas de segundo orden para lo cual β1 = dβ1/dt y β2 = dβ2/dt, en donde, al calcular cada una de las derivadas parciales señaladas partiendo del Langraniano podemos obtener las ecuaciones para el movimiento de las masas dando como resultado un sistema no lineal y el cual no posee alguna solución analítica conocida, sin embargo, existe la posibilidad de replantear dicho problema esto aplicando condiciones iniciales adaptadas al nuevo sistema.

Claramente cualquier modelo matemático será siempre el ideal lenguaje abstracto implementado por la ciencia con la firme finalidad de poder lograr la comprensión (lo mejor posible) de los diferentes fenómenos que se desarrollan en nuestro majestuoso universo, es decir, gracias a dichos modelos matemáticos cada vez nos acercamos aún más a nuestro entorno desde cualquier punto de vista.

Complejidad es sinónimo de movimiento y en realidad será siempre de esa manera ya que esa característica es transmitida por nuestro entorno natural, como hemos expresado en los anteriores análisis todo a nuestro alrededor depende de algún tipo de movimiento bien sea de forma particular recorriendo una trayectoria específica como una línea recta, circunferencia, parábola, elipse o hipérbola y desde luego la extraordinaria combinación de los lugares geométricos de las anteriores figuras, viéndolo desde este punto de vista toda clase de movimiento contiene un alto grado de complejidad, claro está unos más complejos que otros.

El movimiento caótico viene a representar el abanderado principal en lo que a complejidad se refiere debido a sus especiales características sobre todo la de ser impredecible, sin duda un elevado reflejo donado por nuestro universo, por tanto es importante tener siempre en cuenta que las características esenciales para que un determinado sistema tienda a ser caótico es la no linealidad y la altísima sensibilidad en cuanto a los cambios de sus condiciones iniciales, entonces, podemos afirmar que cuando alteremos dichas condiciones iniciales con relación al tiempo obtendremos que el resultado de cualquier sistema caótico será impredecible, representando esta última característica como dijimos otro aspecto a destacar en estos tipos de sistemas.

La geometría analítica sigue demostrando que es una esencial herramienta implementada inteligentemente por todo el campo de la ciencia, a través de la ciencia de las formas y figuras podemos enmarcar o dibujar cualquier fenómeno de nuestro universo, y cualquiera de nosotros podemos dar fidelidad acerca de las enormes contribuciones de la geometría a través de sus figuras e interpretación abstractas de las mismas.

El movimiento caótico no ha sido la excepción, ya que complejas formas de curvas han permitido debelar el comportamiento de un determinado sistema cuando entre en caos, como lo pudo observar Lorentz en sus estudios antes mencionados (develando la compleja figura geométrica conocida como el atractor de Lorentz o mariposa), este tipo de movimiento gracias a sus raíces matemáticas ha logrado esparcirse con gran éxito a otras ciencias como la biología con el firme objetivo de poder transmitir a través de modelos matemáticos cada uno de los comportamientos de cualquier tipo de caos presente en un determinado sistema de cualquier índole.

Para concluir mis apreciados lectores, los fenómenos caóticos nos acompañan en todas partes es por eso que siempre es importante poder resaltar la noble y grandiosa tarea de la maestra de nuestra sabiduría, es decir, la ciencia en todo su esplendor, ya que gracias a ramas científicas como la cinemática en representación de la física y la geometría analítica con su excepcional lenguaje abstracto representando a las matemáticas hemos podido alcanzar nuestro alto grado de intelectualidad hablando en nombre de toda la humanidad y que sin duda nos ha dejado como gratas consecuencias como las que se reflejan en nuestro bienestar social.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras tres grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point y el gif animado con la aplicación de PhotoScape.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

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[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.

[4] Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson. Física. Edición 1 y 3.

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[6] Alonso, M.; E. J. Finn. Física. Ed Addison Wesley Iberoamericana. U.S.A., 1995.

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