Geometría analítica y Cinemática (Parte XVIII)

En primer lugar mi saludo respetuoso para toda la comunidad académica y científica de steemit, en especial a #stem-espanol, #steemstem, #utopian-io, #curie, #cervantes y #entropia, con su valioso apoyo hacemos realidad nuestra evolución en todos los aspectos relacionados a esta prestigiosa plataforma y simultáneamente nos permiten resaltar la admirable labor de la ciencia, ya que en muchos casos nos olvidamos de su inmenso valor para la existencia de todos nosotros como lo hemos comprobado con el estudio del fenómeno del movimiento durante toda esta serie temática.

Con este artículo estaremos cerrando el magistral vínculo entre la geometría analítica y la cinemática ambas extraordinarias ramas de nuestra ciencia, por tanto seguiremos con el propósito principal de esta temática la cual es relacionar lugares geométricos de esenciales figuras con el desarrollo de cualquier tipo de movilidad para este caso de forma combinadas o complejas, y con ello demostrando que el movimiento es el fenómeno fundamental o vital para la humanidad y todo aquello que la envuelve.

Complejo es todo lo que nos rodea, la perfecta naturaleza que alimenta nuestro universo y también a todas nuestras aspiraciones de desarrollo, y para extraer todos estos conocimientos tenemos como herramienta principal a la Ciencia, la cual nos ha convertido en la especie viviente más influyente en el planeta Tierra y por qué no de nuestro Sistema Solar e incluso de nuestra galaxia, la Vía Láctea, en donde desde allá hasta en las más elementales tareas cotidianas nuestras hemos observado al muy complejo fenómeno del movimiento, y gracias al mismo es que tanto nosotros como cualquier especie viviente podemos permanecer con vida en el espacio-tiempo antes descrito.

Nuestra ciencia en pleno se ha ido conformando alrededor de cada uno de los distintos fenómenos naturales encontrados a través de nuestra tan nutrida historia, y tanto la física como las matemáticas fueron y serán la punta de lanza en cuanto a comprensión de tales fenómenos se refiere, permitiendo así la expansión del conocimientos de los mismos hacia las demás ramas de la ciencia, y con ello hemos logrado el entendimiento más detallado de nuestro propio cuerpo lo cual nos ha permitido cuidarlo y de esta manera poder alargar nuestras vidas lo más posible.

Toda especie viviente requiere de alguna forma de movimiento y así llegamos al fenómeno que representa nuestra verdadera fuente de vida, el movimiento, a través del sublime nexo de la geometría analítica y la cinemática hemos podido comprobar reiteradamente tal afirmación y que además son tangibles para cualquiera de nosotros en nuestro día a día si nos referimos a nuestras actividades particulares o sociales, pero si nos referimos a cualquier acción de vida ninguna especie existiría sin el efecto de algún tipo de movimiento bien sea de forma intrínseca o extrínsecamente e incluso nuestro esplendido hogar, la Tierra, o el sistema Solar si expandimos nuestra localidad, pero si vamos mucho más allá nuestra galaxia de igual manera tiene la imperiosa necesidad de alimentarse con este fenómeno.

Cada uno de los artículos antes descritos en esta serie temática nos ha llevado a majestuosas movilidades y las cuales sean desarrollado o llevando a cabo al transitar el lugar geométrico de espectaculares formas o figuras, y de esta manera generando a los movimientos tales como, el rectilíneo, el circular, el parabólico, elíptico, hiperbólico, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio, caótico, armónico complejo, armónico forzado amortiguado, cicloidal, epicicloidal, hipocicloidal, cisoidal, estrofoidal y movimiento espiral, en el presenta artículo analizaremos de manera general la conformación de diversas combinaciones de movimientos al realizarse determinadas actividades.

Cualquier tipo de movilidad por lo general lleva consigo el desarrollo de otras formas de movilidades a las que se le denominan movimientos compuestos o complejos, con esto podemos decir que cualquier partícula, cuerpo u objeto puede movilizarse a través de una ruta o trayectoria combinada o compleja, en donde el nombre del movimiento llevado a cabo lo podríamos englobar de acuerdo a las porciones de cada una de las trayectorias transitadas, y por lo tanto dicho movimiento resultará un fenómeno de movilidad combinada o compleja como ya hemos descrito.

Sabemos que nuestro propio cuerpo es un ejemplo de cualquier tipo de movimiento complejo, sin embargo, nos enfocaremos sobre aquellas partículas u objetos (móvil) que al transitar por una determinada trayectoria llevan a cabo varios movimientos o por lo menos los generan, esto con la finalidad de resaltar la vital importancia de combinar movimientos particulares, estas combinaciones son necesarias ya que han permitiendo elevar la utilidad de este fenómeno en todas nuestras actividades.

Cuando vemos pasar a nuestro lado un determinado vehículo somos testigo de la combinación de particulares movimientos, todo vehículo se encuentra dotado de una serie de sistemas mecánicos los cuales realizan innumerables movimientos tales como circulares, oscilatorios, vibratorios, ondulatorios entre otros, todos necesarios para el buen funcionamiento de dicho vehículo, al transitar una determinada carretera de forma recta o curva constantemente a nuestro lado pasan otros vehículos emitiendo algún tipo de onda sonora, lo cierto es que recibimos tales frecuencia de manera diferentes con que se emiten y esto es debido al movimiento entre el emisor y receptor de la onda, a este fenómeno lo conocemos como efecto Doppler y lo observaremos mejor más adelante utilizando un gif animado y también con sus respectivas formulaciones matemáticas, resaltando que si ambos (emisor y receptor de la onda) se encuentran inmóviles el receptor recibiría la misma frecuencia con la cual se emiten dichas ondas.

El anterior escenario nos permite seguir ampliando sobre el encuentro de distintos tipos de movimientos sobre una misma trayectoria, una misma actividad, o un conjunto de sistemas mecánicos, al referirnos a un muy práctico ejemplo podríamos nombrar el sonido emitido por una campana ya que todos hemos tenido el gusto de escuchar dicho sonido, este representa ondas sonoras que son generadas por medio de vibraciones las cuales son producidas por el impacto de la lengüeta de la misma con su estructura, por lo tanto obtenemos un movimiento compuesto oscilo-vibra-ondulatorio, más adelante utilizaremos un gif animado para ejemplificar a tal fenómeno.

Cuando observamos el disparo de algún tipo de proyectil por lo general nos concentramos en el movimiento que sigue dicha bala para saber en dónde impactará pero en pocas ocasiones nos detenemos a pensar en otros movimientos relacionados a dicho disparo, para expulsar el proyectil se genera una implosión por algún tipo de componente químico que por lo general está relacionado a la pólvora, esto hace que se produzca una vibración en el cañón por donde sale el proyectil y estas vibraciones generan un fuerte sonido el cual como sabemos se expande a través del aire como ondas sonoras hasta llegar a nuestros oídos, por tanto toda esta acción da como resultado un complejo movimiento que podríamos denominar vibra-ondulatorio-parabólico.

Fundamentales son cada uno de los aportes de estas ramas de la ciencia para todos nosotros, con los particulares movimientos hemos aprendido a valorar la importancia de este fenómeno y apreciar el gran esfuerzo del mundo científico debido a la infinita complejidad de nuestro universo, a través de la presente publicación resaltaremos la característica más resaltante de este fenómeno su complejidad, ya que por medio de particulares movimientos encontramos a los más complejos, pero los mismos necesario para el real complemento de nuestro desarrollo en todos los ámbitos.

Por tanto, desarrollaremos y conoceremos varios ejemplos habituados la mayoría a nuestra común realidad permitiéndonos resaltar que el movimiento por siempre formará parte de nosotros, en numerosas ocasiones podríamos ser testigos del repicar de campanas por lo que utilizaremos esta figura geométrica para consolidar un movimiento combinado muy presente y conocido por todos, y comenzaremos identificando dicho movimiento compuesto ya que es importante seguir cada una de las trayectorias de esta figura que nos permitan poder establecer o identificar el complejo fenómeno de movilidad, para ello utilizaremos un gif animado sobre el movimiento de una campana el cual nos permite observar cada una de las características antes planteadas.

En el anterior gif notamos que la parte inferior de la campana describe una porción de una circunferencia mientras realiza un movimiento de vaivén característico de los fenómenos oscilatorios, pero además escuchamos un esplendoroso sonido muestra de la presencia de ondas sonoras las cuales producen dicho sonido, típico de una campana y, las misma son originadas por una vibración que es causada por el choque de la lengüeta de la campana con la estructura de esta, todo esto nos lleva a concluir que el fenómeno de movilidad compuesto o complejo es un movimiento oscilo-vibra-ondulatorio y con ello nos permite el disfrute de otro espectacular fenómeno como lo es el sonido.

A cada momento escuchamos algún sonido de una sirena que viaja por el aire hasta nuestros oídos, por lo general es debido a un vehículo que pasa a nuestro lado mientras nosotros caminamos o de igual forma nos trasladamos en otro vehículo, lo cierto es que cuando esto ocurre sentimos el sonido más agudo mientras el emisor de tales ondas se aproxima a nosotros y más grave a medida que el mismo se aleja, pero no captamos estas ondas con la misma frecuencia con la cual se emiten, este fenómeno es el efecto Doppler, y el mismo consiste en un cambio de la frecuencia de una determinada onda percibida por un receptor cuanto este se encuentra en movilidad relativa con el emisor de las ondas sonoras.

Este efecto lo podríamos analizar desde el punto en donde el emisor se encuentra detenido o en reposo mientras que el receptor esta en movimiento, pero también lo podemos hacer con el emisor en movimiento y el receptor inmóvil, de forma general analizamos tal efecto cuando ambos cuerpos están en movimiento bien sea en la misma dirección u opuesta, lo cierto es que cada análisis nos lleva a determinar que el receptor captará la frecuencia de forma diferente como las ondas salen del emisor, a continuación observaremos un gif animado que nos permite describir lo antes planteado.

Si seguimos en la búsqueda de estos tipos de movimiento nos encontramos con el campo de la balística cuya actividad es el estudio del movimiento de un proyectil cuando es disparado por algún instrumento como un viejo cañón o por cualquier tipo de arma de fuego (pistolas o revolver, etc), esta práctica nos lleva al movimiento parabólico ¿pero realmente solo involucra a este único movimiento? A continuación presentaremos a un gif animado en donde se observa el disparo de un cañón y los posibles tipos de movimientos relacionados a tal actividad.

Con el anterior gif evidenciamos otras formas de movilidades intrínsecas al movimiento que realiza el proyectil o bala cuando es expulsado del cañón el cual describe un movimiento parabólico, pero también desarrolla un movimiento vibratorio que origina un sonido y con ello ondas sonoras las cuales activan al movimiento ondulatorio, esto nos lleva a la conformación del movimiento complejo descrito en el gif, es decir, vibra-ondulatorio-parabólico.

Infinitos ejemplos de estas movilidades seguiremos encontrando en nuestro entorno ya que todo aquello que nos acompaña depende de algún tipo de movimiento, en donde la geometría analítica y su excelso lenguaje acompaña a la cinemática en la ardua tarea de descifrar y entender al más complejo de los fenómenos naturales, el movimiento, por eso expresamos que el mismo siempre será nuestra fuente de vida.

Al extraer cualquier fenómeno de nuestra naturaleza es lógico pensar que en el mismo se reflejará la complejidad de nuestro universo y, el movimiento es es el máximo exponente de lo antes descrito, gracias a los magistrales modelos matemáticos el mundo científico a logrado reducir tales complejidades en cuanto a su comprensión y permitiendo además la universalidad de las bondades de cualquier fenómeno que este campo estudia y, de esto somos testigo a través del movimiento y sus infinitas virtudes hacia la humanidad y su entorno, esparcidas entre nosotros por el incansable trabajo de la ciencia.

A lo largo del análisis del movimiento hemos encontrado en los modelos matemáticos la generalización de innumerables formas de movilidades permitiéndonos una comprensión sostenida de este fenómeno ya que nos otorga la posibilidad de aplicar una serie de modelos a hechos con características similares, logrando la ya expresada universalidad, cuando nos referimos a movimientos compuestos nos estamos relacionando a la acción de movilidades particulares actuando como un solo movimiento y como ya lo hemos divulgado esta es la más importante característica del movimiento.

En esta oportunidad seguiremos señalando algunos de estos modelos matemáticos que nos permiten la consolidación del conocimiento relacionado a los distintos tipos de movimientos, por tanto nos encontramos con aquellas formulaciones relacionadas al movimiento relativo de emisor y observador, es decir, el efecto Doppler.

Iniciaremos con el planteamiento en donde el emisor de las ondas sonoras se encuentra inmóvil o en reposo y el receptor a tales ondas está en movimiento con respecto al emisor con una velocidad Vr (velocidad del receptor), y cuya velocidad es tomada como positiva cuando el receptor se aproxima a la fuente emisora, de lo contrario cuando este se aleja esta velocidad la consideraremos negativa, sabemos que dicha fuente estará emitiendo ondas de frecuencia f, en donde la longitud de tales ondas será:

Pero lo importante es saber la frecuencia percibida por el receptor en movimiento, si el mismo permaneciera inmóvil la máxima frecuencia que recibirá por unidad de tiempo seria según la siguiente formulación 2 la cual es la siguiente:

Sin embargo, ya indicamos que el receptor se está movimiento a una velocidad (Vr) y como se acerca a la fuente emisora dicho receptor captará una frecuencia mayor de la que recibía cuando estaba inmóvil, esto hace que la velocidad respectiva entre la onda y el receptor sea (V+Vr) en vez de Vr, por tanto, la frecuencia recibida por el receptor (fr) será:

Por tanto, la ecuación (1) la podemos sustituir en (3) y obtenemos la siguiente formulación:

Podemos decir entonces que con (4) notamos que cuando el receptor se aproxima a la fuente emisora de las ondas que origina el sonido lo hará con velocidad mayor a cero (Vr >0) por considerar la velocidad positiva del receptor cuando se acerca al emisor, por tanto recibirá una frecuencia mayor que cuando este se aleja de dicha fuente, ya que para el primer caso el cociente (V+Vr)/V será mayor que para el segundo caso (cuando se aleja). Ahora consideramos que el emisor de onda se moviliza y el receptor se encuentra inmóvil o en reposo, al realizar un análisis semejante al anterior, en donde la velocidad de la fuente emisora es (Ve) obtendríamos la siguiente formulación:

Los dos anteriores análisis lo podemos relacionar para obtener una formulación general para el fenómeno del efecto Doppler, es decir, ahora con movimiento tanto del receptor como del emisor de ondas o sonido y por tanto llegamos a la siguiente ecuación general:

Es relevante poder resaltar la importancia de tener cuidado al momento de considerar los signos para las velocidades según sea el caso a considerar como lo hicimos en los anteriores análisis, bien sea con el receptor en reposo y emisor en movimiento o viceversa o cuando ambos se encuentran en movimiento relativo uno del otro, así como estas formulaciones también hemos encontrado muchas otras más durante el estudio de cada uno de los movimientos analizados en el nexo entre la geometría analítica y la cinemática.

Con el estudio de este artículo el cual representa el cierre de este magnífico nexo podemos concluir expresando que hemos demostrado que la geometría analítica unida a la cinemática representan el más provechoso vínculo de nuestro campo científico, como no decirlo si acabamos de observar al fenómeno más impactante y vital tanto para la humanidad como para cualquier especie viviente de nuestro entorno incluyendo claro está al propio universo con todas sus complejidades.

El movimiento es nuestra fuente de vida natural ya que sin el mismo nada sería posible, el desarrollo de esta temática siempre estuvo enfocada a resaltar tal importancia y aún más allá destacar la grandiosa tarea de nuestra ciencia y de cada una de las personas que permiten la comprensión del movimiento, este recorrido lo iniciamos con el indispensable movimiento circular y llegamos hasta aquí a través de la complejidad que representa la vinculación de movilidades particulares debido a que de esta forma es que más ha influido este fenómeno en nosotros, si miramos a nuestro alrededor nuestros ojos serán constantemente testigos fidedignos de lo que estoy afirmando y lo expresan mis ojos, manos, es decir, cuerpo completo al momento de redactar este artículo así como sus organismos al momento de poderlo leer ya que sin el movimiento no hubiéramos podido llevar a cabo dichas tareas.

Es importante siempre seguir profundizando sobre el movimiento y sobre esas fabulosas estructuras o figuras geométricas por donde transita cualquier móvil al desarrollar un movimiento, con la geometría analítica y la cinemática una en representación de las matemáticas y la otra de la física nos despedimos sin descartar en seguir ahondando sobre este tal vital nexo que tantos conocimientos nos han ofrecido e invitarlos a profundizar con la lectura de toda esta serie temática.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras tres grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la excelente labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point, GeoGebra, y los gifs animados fueron elaborados con la aplicación de PhotoScape.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.

[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.

[4] Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson. Física. Edición 1 y 3. [5] Giancoli, D.C. Física, principios y aplicaciones, Reverté S.A. España, 1985.

[6] Boyer, C. Historia de la Matemáticas, Alianza, Madrid (1986).

[7] Arriagada Sandoval Camila. Modelos Matemáticos. Universidad del BÍO-BÍO. Chillan, 2015.

[8] Figueras Atienza Marc. Introducción a los fenómenos ondulatorios. Universidad Oberta de Catalunya.

[9] Lafuente J. Geometría diferencial de curvas en el plano. Enero de 1998.