Un analista rejuvenecido resuelve un problema matemático de décadas de antigüedad

in math •  3 months ago


En 1950, Edward Nelson, que entonces era estudiante de la Universidad de Chicago, formuló el tipo de pregunta engañosamente simple que se les escapo a matemáticos durante décadas. Imagine, dijo, un gráfico: una colección de puntos conectados por líneas. Asegúrese de que todas las líneas tengan exactamente la misma longitud y que todo esté en el plano. Ahora coloree todos los puntos, asegurándose de que no haya dos puntos conectados que tengan el mismo color. Nelson preguntó: ¿Cuál es el número más pequeño de colores que necesitarías para colorear cualquier gráfico, incluso uno formado al unir un número infinito de vértices?

El problema, ahora conocido como el problema de Hadwiger-Nelson o el problema de encontrar el número cromático del avión, ha despertado el interés de muchos matemáticos, incluido el famoso prolífico Paul Erdős. Los investigadores redujeron rápidamente las posibilidades, encontrando que el gráfico infinito puede ser coloreado por no menos de cuatro y no más de siete colores. Otros investigadores probaron algunos resultados parciales en las décadas siguientes, pero nadie fue capaz de cambiar estos límites.

Luego, la semana pasada, Aubrey de Grey, un biólogo conocido por sus afirmaciones de que la gente viva hoy vivirá hasta la edad de 1,000 años, publicó un documento en el sitio de preimpresión científica arxiv.org con el título "El número cromático del avión es por lo menos". 5. "En él, describe la construcción de un gráfico de unidad de distancia que no puede ser coloreado con solo cuatro colores. El hallazgo representa el primer avance importante en la resolución del problema desde poco después de su introducción. "Tuve una suerte extraordinaria", dijo de Gray. "No todos los días surge la solución a un problema de hace 60 años".

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A Aubrey de Gray se le ocurrió el primer gráfico de unidad de distancia que requiere al menos cinco colores.

De Gray parece ser un pionero matemático poco probable. Es cofundador y director científico de una organización que busca desarrollar tecnologías para "revertir los efectos negativos del envejecimiento". Llegó al número cromático del problema del avión a través de un juego de mesa. Décadas atrás, de Gray era un jugador competitivo de Othello, y se topó con algunos matemáticos que también eran entusiastas del juego. Lo presentaron a la teoría de grafos, y él vuelve de vez en cuando. "Ocasionalmente, cuando necesito descansar de mi trabajo real, pienso en las matemáticas", dijo. <span title="Over Christmas last year, he had a chance to do that.

">En Navidad el año pasado, tuvo la oportunidad de hacer eso.

Es inusual, pero no inaudito, que un matemático aficionado avance significativamente en un problema abierto de larga data. En la década de 1970, Marjorie Rice, una ama de casa sin antecedentes matemáticos, se topó con una columna de Scientific American sobre pentágonos que embaldosan el avión. Finalmente agregó cuatro nuevos pentágonos a la lista. Gil Kalai, un matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén, dijo que es gratificante ver a un matemático no profesional hacer un gran avance. <span title="“It really adds to the many facets of the mathematical experience,” he said.

">"Realmente se agrega a las muchas facetas de la experiencia matemática", dijo.

Tal vez la pregunta de coloreo gráfico más famosa es el teorema de cuatro colores. Establece que, suponiendo que cada país es un nudo continuo, cualquier mapa puede colorearse utilizando solo cuatro colores para que no haya dos países adyacentes del mismo color. Los tamaños y formas exactos de los países no importan, por lo que los matemáticos pueden traducir el problema al mundo de la teoría de grafos representando cada país como un vértice y conectando dos vértices con una ventaja si los países correspondientes comparten un borde.

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El problema de Hadwiger-Nelson es un poco diferente. En lugar de considerar un número finito de vértices, como existiría en un mapa, considera infinitos vértices, uno para cada punto en el plano. Dos puntos están conectados por un borde si están exactamente separados por una unidad. Para encontrar un límite inferior para el número cromático, basta con crear un gráfico con un número finito de vértices que requiera un número particular de colores. <span title="That’s what de Grey did.

">Eso es lo que de Gray hizo.

De Gray basó su gráfico en un artilugio llamado el eje de Moser, llamado así por los hermanos matemáticos Leo y William Moser. Es una configuración de solo siete puntos y 11 bordes que tiene un número cromático de cuatro. A través de un proceso delicado y con una mínima asistencia informática, De Gray fusionó copias del eje de Moser y otro conjunto pequeño de puntos en una monstruosidad de 20,425 vértices que no se pudo colorear con cuatro colores. Posteriormente, pudo reducir el gráfico a 1,581 vértices y hacer una comprobación en la computadora para verificar que no era cuatrible.

El descubrimiento de cualquier gráfico que requiera cinco colores fue un gran logro, pero los matemáticos querían ver si podían encontrar un gráfico más pequeño que hiciera lo mismo. Tal vez encontrar un gráfico de cinco colores más pequeño, o el gráfico de cinco colores más pequeño posible, les brinde a los investigadores más información sobre el problema de Hadwiger-Nelson, permitiéndoles probar que exactamente cinco tonos (o seis, o siete) son suficientes para colorear un <span title="graph made from all the points of the plane.

">gráfico hecho de todos los puntos del avión.

De Gray lanzó el problema de encontrar el gráfico de cinco colores mínimo para Terence Tao, un matemático de la Universidad de California, Los Ángeles, como un posible problema de Polymath. Polymath comenzó hace unos 10 años cuando Timothy Gowers, un matemático de la Universidad de Cambridge, quiso encontrar la manera de facilitar las colaboraciones masivas en línea en matemáticas. Trabajar en problemas de Polymath se hace públicamente, y cualquiera puede contribuir. <span title="Recently, de Grey was involved with a Polymath collaboration that led to significant progress on the twin prime problem.

">Recientemente, de Gray estuvo involucrado con una colaboración de Polymath que condujo a un progreso significativo en el problema principal doble.

Tao dice que no todos los problemas de matemáticas son adecuados para Polymath, pero de Gray tiene algunas cosas a su favor. El problema es fácil de entender y comenzar a trabajar, y hay una clara medida de éxito: reducir la cantidad de vértices en un gráfico que no sea de cuatro colores. Muy pronto, Dustin Mixon, un matemático de la Universidad Estatal de Ohio, y su colaborador Boris Alexeev encontraron un gráfico con 1.577 vértices. El sábado, Marijn Heule, un científico informático de la Universidad de Texas, Austin, encontró uno con solo 874 vértices. <span title="Yesterday he lowered this number to 826 vertices.

">Ayer bajó este número a 826 vértices.

Tal trabajo ha despertado la esperanza de que el problema de Hadwiger-Nelson de hace seis décadas merece otra mirada. "Para un problema como este, la solución final podría ser algunas matemáticas increíblemente profundas", dijo Gordon Royle, un matemático de la Universidad de Western Australia. "O podría tratarse del ingenio de alguien para encontrar un gráfico que requiera muchos colores".


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