Tres décadas después, explican los Números misteriosos

in math •  2 months ago

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Los valores Zeta parecen conectar mundos geométricos distantes. En una nueva prueba, los matemáticos finalmente explican por qué.

Hace casi treinta años, un grupo de físicos notó que algunos de los números más importantes en matemáticas aparecían donde parecían no pertenecer. Una nueva prueba finalmente explica por qué están allí.

El trabajo, que aún no ha sido publicado, es realizado por cuatro destacados matemáticos en el campo de la simetría especular. Explica por qué los llamados valores zeta -números que han preocupado a los matemáticos desde mediados del siglo XVIII- están implicados en el misterio numérico en el corazón de uno de los campos más activos en las matemáticas contemporáneas.

"Nuestro trabajo ofrece una especie de explicación geométrica del origen de estos números extraños", dijo Nick Sheridan, investigador de la Universidad de Cambridge y coautor del trabajo.

Los valores zeta son números generados al tomar una suma infinita. Por ejemplo, zeta de 2 es igual a 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ..., mientras que zeta de 3 es igual a 1 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + .... Los valores zeta aparecen en muchas áreas de las matemáticas, incluida, más famosa, la hipótesis de Riemann, que se relaciona con la distribución de los números primos.

Como expliqué en mi reciente artículo sobre el estado de la simetría especular, "Los matemáticos exploran el enlace espejo entre dos mundos geométricos", el campo fue descubierto por accidente. A principios de la década de 1990, los físicos intentaban descifrar los detalles de la teoría de cuerdas. Querían explicar el mundo físico como un producto de cuerdas pequeñas y vibrantes tejidas a través de seis dimensiones adicionales del espacio. Intentaron comprender cuál podría ser la geometría de esas seis dimensiones. La primera opción vino del campo matemático de la geometría algebraica; un segundo vino del campo matemático de geometría simpléctica. Para el ojo matemático entrenado, los dos difícilmente podrían haber parecido más diferentes.

Y, sin embargo, los físicos notaron algunas similitudes extrañas entre ellos. En particular, cuando realizaban un cálculo en un espacio, generaban números que coincidían con los números que generaban cuando realizaban un tipo de cálculo muy diferente en el otro lado. "Dos cosas que parecían, en principio, no relacionadas, mágicamente eran iguales", dijo Denis Auroux, un matemático de la Universidad de California, Berkeley.

Los matemáticos y físicos comenzaron a excavar la relación espejo. Pronto construyeron entidades matemáticas cada vez más abstractas sobre los cimientos de los espacios geométricos complejos y simplécticos subyacentes. Puede pensar en estas entidades matemáticas más abstractas como casas cuya arquitectura refleja los cimientos sobre los que se han construido.

En el ajuste de simetría de espejo, los puntos en la casa cuyos valores de coordenadas anteriormente eran enteros se convierten en puntos cuyos valores de coordenadas ahora son múltiplos de diferentes valores zeta. El proceso efectivamente rota el espacio. "Se ha rotado, y la cantidad en la que ha girado puede implicar algunos de estos valores zeta", dijo Sheridan.

Los matemáticos han notado la presencia de valores zeta casi desde el comienzo del estudio de la simetría especular. "La aritmética es fascinante y ha sido explorada en muchos ejemplos, pero le falta una explicación conceptual. Hemos tratado de obtener más de una explicación conceptual ", dijo Sheel Ganatra, un matemático de la Universidad del Sur de California y coautor del nuevo trabajo junto con Sheridan, Mohammed Abouzaid de la Universidad de Columbia e Hiroshi Iritani de la Universidad de Kyoto. Este nuevo trabajo explica por qué los valores zeta están ahí.

La explicación tiene que ver con las características geométricas intrínsecas de los dos lados de la simetría del espejo. Una pregunta fundamental en la simetría especular, llamada conjetura SYZ, dice que debería ser posible tomar un espacio espejo, descomponerlo en pedazos, manipular esas piezas y luego usarlas para construir el segundo espacio espejo. Es como si tuvieras una forma grande hecha de Legos, la desarmaras y usaras las piezas para construir algo nuevo.

Cuando se divide el primer espacio en piezas parecidas a Lego, la mayoría de las piezas serán iguales, pero también habrá algunos bloques especiales: la extraña pieza verde o amarilla en un mar de rojos y azules.

En su nuevo trabajo, los matemáticos prueban que cada clase de pieza especial está asociada a un valor zeta. Tal vez los bloques verdes están asociados a zeta de 2, y por lo tanto, si tiene cinco greens cuando desmonta su primer espacio de espejo, la estructura sobre su espacio réplica reconstruido tendrá sus coordenadas compensadas por un factor de cinco veces zeta de 2.

En este nuevo trabajo, los cuatro matemáticos usan técnicas de un campo llamado geometría tropical. Usando esas técnicas, prueban que estas "piezas especiales" explican por qué los números en lados opuestos del espejo difieren exactamente por un factor de valores zeta. Hasta ahora, su prueba es válida para muchos casos de simetría especular. Los autores esperan hasta que hayan podido probar aún más casos antes de que hagan pública la prueba.

El trabajo también es emblemático de una tendencia general en la simetría de espejo. El campo comenzó en revelación y avanza rápidamente hacia la comprensión. En lugar de simplemente catalogar fenómenos misteriosos, ¡estos conjuntos de números coinciden! - Los matemáticos están empezando a explicar realmente por qué ocurren los fenómenos especulares.


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