[특수상대성이론] 길이의 변화는 누구에게 생기는 것일까?

안녕하세요 @chosungyun입니다.
저번 포스팅 마지막에서 제시한 문제를 다시 떠올려 보겠습니다.

빛의 속도로 움직이는 기차를 정지한 곳에서 쳐다보고 있습니다.
이때 기차의 길이보다 짧은 거대한 바구니로 기차를 가두기 위해 기차가 들어오는 순간 기차를 덮칩니다.
그럼 이때 기차는 과연 바구니 안에 들어갈까요? 아니면 바구니는 기차를 가두는 것을 실패할까요?

우선 외부에서 보면 어떻게 될까요?
외부에서 기차를 보면 빛의 속도로 달리기 때문에 로렌츠수축을 하여 짧아 보이게 됩니다.
즉, 짧아진 기차는 바구니 안에 갇힙니다.

그렇다면 기차 내부에서 보면 어떨까요?
기차 내부에서 본다면 기차가 정지해 있다고 생각하고 주변을 보았을 때 정지계에 있는 바구니가 기차를 향해 빛의 속도로 달려오는 것처럼 보입니다.
그럼 이 바구니는 폭이 더 짧아질 것이고 기차를 가두지 못할 것으로 보입니다.

하지만, 여기서 집중해야 하는 문제가 있습니다.
바로 사건의 동시성입니다.

외부에서 바라보았을 때 기차를 바구니로 덮쳐 가두는 사건은 기차의 머리 쪽과 꼬리 쪽에서 동시에 덮치기 때문에 동시에 일어난다고 할 수 있습니다.

하지만, 기차에서 바라본다면 이 사건이 동시에 일어난다고 할 수 있을까요?
기차의 머리가 바구니의 오른쪽 끝에 도달했을 때 기차의 꼬리 칸이 바구니의 왼쪽 끝에 도달해야만 합니다.
하지만, 여기서 우리는 상대론임을 생각해야 합니다.

기차의 중앙에서 양 끝을 바라보며 바구니가 기차를 덮치는지 성공했는지 보고 있다면 기차의 진행 방향과 일치하는 머리 쪽과 진행 방향의 반대쪽인 꼬리 칸 쪽으로 이동한 빛에서 시간차가 발생할 수밖에 없습니다.
즉, 사건이 동시에 일어났다고 하더라도 동시에 관측할 수 없습니다.
그래서 기차 내부에서 보면 기차의 머리를 가두는 것과 꼬리를 가두는 두 사건이 외부에서 바라보는 것과는 달리 동시에 일어나지 않습니다.
기차의 머리가 먼저 가두어지면 그 후에 꼬리 칸이 바구니에 의해 가두어진다고 할 수 있습니다.

이 문제를 알아보면서 동시성 파괴와 길이 변화의 기준을 알게 되었습니다.
길이의 변화는 정지한계에서 움직이는 대상을 보았을 때 수축합니다.
그래서 정지한 계인 외부에서 바라본 기차는 수축되어 보였습니다.
한편, 기차 안에서 바라보았을 때 기차의 기준에서 기차가 정지해있고 기차의 주변 환경이 자기에게 빛의 속도로 달려오는 것처럼 보입니다.
그래서 기차 입장에서는 주변 환경이 수축하는 것처럼 보입니다.

그런데 여기서 주의해야 하는 것은 길이 수축이라는 것이 이동 방향에 대한 같은 축으로만 수축한다는 것입니다. 수직한 축은 길이 수축의 영향을 받지 않습니다.
즉, 기차가 빛의 속도로 달리고 이것을 관측하고 있을 때 기차의 길이가 짧아지는 것인지 기차의 폭이 짧아지는 것은 아니라는 것입니다.

그럼 길이 수축을 간접적으로 알 수 있는 실제의 예를 들어볼까요?
이런 길이의 변화에 대해서 가장 잘 설명해주는 현상이 뮤온 검출입니다.
이 예는 특수상대성이론을 처음 포스팅할 때 잠깐 언급했었습니다만 다시 한번 로렌츠 수축을 예를 들며 설명하겠습니다.

지구의 지표면 상에서 검출기를 통해 뮤온을 검출할 수 있습니다.
그런데 이 뮤온이라는 입자는 cosmic ray가 외부 우주로부터 지구 대기로 입사하면서 많이 생기는데 그 수명이 2.2\mu s로 매우 짧습니다.
이 시간 동안 뮤온이 빛의 속도로 이동한다면 이동할 수 있는 거리는 660m 정도로 짧습니다. 하지만, 보통 뮤온은 지구 대기 10km 상공 정도에서 발생합니다.
660m정도만 이동할 수 있는 뮤온이 10km가 넘는 거리를 이동해 지구의 지표면에 있는 검출기에 도달했습니다.
여기서 적용되는 개념이 시간 지연 현상입니다.
관측자인 우리의 입장에서 뮤온을 바라보았을 때 뮤온은 2.2\mu s를 이동하지만 우리가 보기에는 훨씬 긴 수명을 가지게 됩니다. 그래서 검출기에 도달하게 됩니다.
이때 대략 0.999c 정도로 광속의 99.9% 정도의 속도를 뮤온이 가진다고 가정한다면 대략 49.2\mu s정도의 수명을 가진 것으로 관측이 됩니다. 이 정도의 수명이면 대략 15km 정도를 이동할 수 있게 되며 충분히 검출기에 도달하게 됩니다.
한편, 지구의 지표면으로 이동하는 뮤온의 입장에서는 자신의 관성계(정지계)에서 바라본다면 지표면까지의 공간이 자신에게 광속의 99.9%로 달려오는 것처럼 보입니다. 그래서 주변 공간이 수축합니다. 계산해보면 10km의 높이는 대략 450m 정도로 수축합니다.

결국, 우리가 보기에는 뮤온이 수명이 늘어난 것처럼 보이고 뮤온의 입장에서는 주변 공간이 쪼그라든 것이라 볼 수 있겠습니다.

다음 포스팅에서는 그럼 실제로 길이가 짧아지는 것인가? 아니면 그렇게 보이는 것인가에 대해 고민해보도록 하겠습니다. 오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”