[수학] 단사, 전사의 정의와 유용성 // [math] some proposition related with sur-injective and bijectiveness

집합론, 해석학, 대수학까지 수학의 기본이라고 할 수 있는 것이 바로 mapping, 즉 함수이다. 종종 학생들은 이런 전/단사 함수의 성질들을 쉽게 생각하고 넘어가기가 쉬운데 후에 manifold theory 의 embedding 과 관련된 정리들이나 갈루아 이론에서의 Artin's theorem 과 같은 묵직한 정리들에서 이 함수들은 해당 증명의 key 를 제공해 준다. [그러기에 수학과에서는 이 집합론을 1학년 과목에 배정하는 것이다. 물론 집합론 시간에 정의만 다루고 이를 이용한 application 을 빠트릴 수도 있지만, 해석학이나 대수학, 위상수학에서 또 반복되기에... 물론 그 전에 배웠다는 것을 가정하고 다 skip 할 수도 있기는 하다.... 아무튼 모든 학문은 기초가 중요하다는 것!]

injective(1-1 우리말로는 단사 혹은 일대일 함수 ), surjective(onto 우리말로는 전사 혹은 위로의 함수), bijective(전단사 혹은 일대일 대응 함수) 이 함수는 중고등학교 때 부터 시작하여 대학교, 대학원, 연구 과정에서도 빼놓지 않고 등장한다.

오늘은 단사와 전사함수과 관련된 proposition 몇개를 소개 해 볼까 한다.

일단 각각 함수의 정의를 생각해 보자.

Surjective(onto)

우리말로는 전사 혹은 위로의 함수 이 말은 공역의 모든 원소가 선택되었다는 말로 공역=치역 을 의미한다

수식적 정의를 쓰면

즉 y \in Y 의 모든 원소에 대해 대응되는 x 가 존재한다는 것이다.

가장 trivial 한 surjective function 의 예로 Identity map 이 있다.

Injective(1-1)

단사함수는 전사 함수 혹은 일대일 함수라고 불린다. 즉 정의역의 원소 하나는 단 하나의 공역의 원소에 대응된다는 것을 말한다.

단사 함수의 수학적 정의

가장 trivial 한 injective function 의 예로 Identity map 이 있다. [그렇다 ㅋㅋ Identity map 은 surjective 하고 injective 하기에 bijective 하다]

bijective(one to one correspondence)

가장 친숙한 함수가 아닐까 싶다. 바로 우리말로 일대일 대응 함수
전사와 단사 조건을 모두 만족하는 함수로 inverse 즉 역함수가 존재하기 위해 필요한 조건이다.

이렇게 정의만 보면 재미가 없지 않는가.
처음 배울 때면 정의가 유용하지만 실제로는 정의를 가지고 증명하는 것 보다 맨 처음에 소개한 proposition 을 이용하여 함수의 전사, 단사 여부를 확인하는 경우가 더 많다.

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합성함수

합성함수에 관한 전/단사 확인 여부는 그냥 정의를 그대로 따라가면 된다.

하나씩 보여보자

위에서는 먼저 f 가 단사임을 보이고 싶은 것이니 다음과 같은 과정으로 전개해 나가면 된다.

아래에서는 g 가 전사임을 보이려고 하는 것이고, 이것도 비슷한 방식으로 구할 수 있다.

유용한 정리

개인적으로 전사와 단사와 관련되서 가장 유용한 정리를 꼽는다면 이것이다

사실 얘네는 다음을 내포하는데

functions with left inverse are always injective
functions with right inverse are always surjective

즉 앞의 함성함수도 그러고 얘네를 잘 살펴보면 더 이 말의 의미를 피부로 느낄 수 있다.

한번 부연 설명을 해보면

g\circ f 가 injective 라면 왼쪽의 g 를 지운 f 가 injective 란 것이고
g\circ f 가 surjective 라면 오른쪽의 f 를 지운 g 가 surjective 란 것이다.

똑같은 원리가 바로 위의 정리에도 쓰인다.

자 하나씩 증명해 보자

핵심은 identity map 은 bijective (injective and surjective) 하다는 것과 위에서 증명한 합성함수 관련 성질이다.

나머지도 똑같다

ref

도표는 위키피디아에서 따왔다.