[수학, 유머(?)] Killing vector(?) 벡터를 죽인다고? // Wilhelm Karl Joseph Killing

폭염으로 인해 의도치 않게 출근(?)을 하지 않게(?)//(아까운 휴가를..) 되서 스팀잇 글을 계속 쓰고 기웃거리고 있다. 의도치 않던 이 달콤한 휴가(?)도 이제 곧 끝나고 당장 내일부터 10여일간 출장을.. ㅋㅋㅋㅋㅋ 빨리 날씨가 좀 풀렸으면 좋겠다..

Killing vector 하면 여러분은 무엇을 떠오르는가? 벡터를 죽인다? (벡터 살인자? ㅋㅋㅋㅋ) 벡터를 어떻게 죽인다는 것일까? 벡터는 스칼라와 방향으로 구성되어 있는데, 그러면 방향을 없앴다는 것일까? 아니면 스칼라를 어떻게 하겠다는 것일까? 나는 위와 같은 별의별 생각을 다 했다.

하도 궁금해서 점심식사 도중 이 단어를 꺼낸 형에게 "벡터를 왜 죽이냐"고 물어본 적이 있었다. 그 형은 폭소를 하면서 ㅋㅋㅋㅋㅋ Killing vector 는 벡터를 죽이는 그런게 아니고 그냥 사람 이름이라고 유명한 기하학자 (지금 보니까 대수학자가 더 어울리는 것 같다) 다 라고 했던 기억이 난다.

[위키]

Wilhelm Killing 은 독일의 수학자(10 May 1847 – 11 February 1923)로 군론과 비유클리드 기하학에 엄청난 공로를 세운 사람이다. 이 사람의 이름을 따 어떤 특정한 조건을 만족하는 vector 를 킬링 벡터라고 부르는 것이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Killing

(이야 위키를 읽어보니, 이 사람이 리군으로 유명한 Sophus Lie 와 독립적으로 리 대수를 발명한 사람이구나... 와 더 나아가 complex finite dimensional simple Lie algebra 를 분류한 학자군.. 군론의 root system 을 소개한 사람이고 Exceptional group $G_2$ 를 발견한 사람이네...아 나랑 엄청 관련이 많았던 사람인데 여태 모르고 있었다니.. 감탄의 연속이다..... 이번에 농담삼아서 스팀잇 소재로 써먹었는데 공부를 더 해간다. Lie group 하니까 흠 기회가 되면 딘킨 다이어그램을 소개하고 싶은데... )

그 특정한 조건이라는 것이 리만다양체에서 metric 을 보존하는 벡터장을 말한다 (이는 리만 다양체 에서 Kiling vector 방향으로 Lie 미분을 할 시 0 이 된다는 것이랑 동치이다.). 그 때야 우스겟 소리로 다시 이 용어를 만나게 될까란 생각을 했었는데 지금은 내 일상에 너무나 자주 등장하는 단어가 되어 버렸다. (여담으로 Killing-Cartan form 이 있는데 맨 처음대로 생각하면 cartan 을 죽이는 form? ㅋㅋㅋ Killing, Cartan 둘 다 수학자 이름이다. 위의 경우 종종 Killing from 이라고 불린다. Killing vector 를 먼저 보지 않았다면 아마 나는 비슷한 착각을 했을 것이다. ㅋㅋㅋ )

끝으로 Killing vector와 관련된 연습문제 하나를 소개 해 보고 마무리 하려고 한다.

이 방정식 $$$X$$$ 를 풀면 Killing vector 의 성분을 구할 수 있다.

특별히 $$$S^2$$$(2차원 구) 혹은 $$$SO(3)$$$ 다양체 에서는 ($$$ X_{\mu} = \xi_{\mu} $$$ )

기하학을 공부할 때 한 두번쯤은 해볼만한 연습문제이다. (방법 : spherical symmetric metric 을 잡고 Affine connection 을 계산, 그러면 각 성분별 미분방정식 들이 나오고 이를 연립하면 된다)

계산하고 싶은 욕구가 샘 솓지 아니한가!

ㅠㅠ $$$ 식 $$$ markdown 수식 입력인데, 잘 안먹히는 것 같다. 수식 편집후 캡쳐도 이제...
ㅠㅠ 이러니 자꾸 수학보다 과학글을 쓰게 되는듯.. ㅠㅠ