[수학, 계산] 등각이론과 conformal algebra //Feat 에셔

오늘은 등각장론이라 영어로는 Conformal field theory 라고 하는 이론을 이야기 해 보려고 했습니다만 Field 에 대한 개념 설명이 필요해 일단 conformal map, 등각사상에 대해서 알아볼까 합니다.

수학, 특히 복소함수론을 공부하다 보면 conformal mapping 이라는 것이 등장합니다. 두 점 혹은 직선 사이의 각을 유지하는 map 즉 함수를 말하는데요, Conformal map, 즉 위키피디아의 사진을 빌려와 보면 다음과 같습니다.

위 그림을 보면 알겠지만 사각형들의 90 도 각도는 유지된 채 전체 모양이 변형되는 map을 말합니다. 가장 쉬운 예로써 크기만 변하는 scaling function 이 이런 conformal map[transformation] 중 하나죠.

또 하나의 예를 들어보면 예전에 썻던 글, [수학, 과학, 계산] ads 기하학 에 나오는 에셔의 그림

은 음의 곡률을 가지는 등각표현을 가지고 있다는 것을 볼 수 있습니다. 박쥐 혹은 천사의 모습이 뒤로 가면서 작아지는 모습이 음의 곡률을 가지고 있다는 것을 말해줍니다.

등각이론을 표현한 에셔의 다른 작품들을 한번 소개해 보도록 하죠.

Flat 한 경우에는 경계로 간다고 해도 모습이 일정하게 유지가 됩니다.

양의 곡률은 2d인 이미지로 표현하기가 힘들어 조각품으로 표현을 했더군요.

해당 작품들은 "에셔, 천사와 악마" 라고 검색을 하면 쉽게 찾을 수 있는 그림입니다. 에셔( 위키, 나무위키 ) 는 기하학과 수학적 원리를 미술 작품으로 정말 잘 표현한 네달란드 출신의 예술가 입니다. 이런 테셀레이션 같은 그림 속에서 여러 군론의 대칭들[reflection, glide reflection, translation, rotation] 을 표현했지요.

[ 에셔의 Two Birds(No.18)]

여담으로 저는 어려서부터 좋아했던 호프스태터의 책 "괴델, 에셔, 바흐" 를 통해 처음으로 예셔의 작품들을 접했고 그 책을 통해 '과학자'를 꿈꿨었습니다 ㅎㅎ; [ㅋㅋㅋ 관련 글을 포스팅 하고 싶긴 한데 주제가 너무 방대해서 어떻게 쓸 감이 안잡히는 군요 ㅋㅋ;; --> 후에 작성한 관련 포스팅 ]

수학에서는 이런 conformal mapping 이 Riemann mapping theorem, Riemann surface 를 연구하는 중요한 도구로 쓰이고 이를 구성하는 conformal algebra 역시 여러 대수 algebra 에 근간이 됩니다. 물리학에서는 통계역학 및 양자장론, 끈이론 등 전반적으로 쓰이고 있고요.

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역시나 그냥 계산 없이 넘어가기 심심(?)해서, 등각장론의 generator 와 그들이 이루는 대수 conformal algebra 계산을 소개해 봅니다.

먼저 CFT 를 이루는 generator 를 소개해보면

여기서 P 는 momentum D 는 dilation, L 은 rotation, K 는 special conformal transformation 을 나타냅니다.

제가 여기서 보이고 싶은 것은 이런 generator 들이 어떤 관계를 가지는지 알고 싶은 건데, 답을 먼저 공개하자면

이런 계산들을 하기 위해서는 먼저 test function, f 를 도입하고 직접 함수를 넣어서 계산을 해보면 됩니다.

대부분의 책들을 보면 저런 관계식들을 만족한다 하고 넘어가거나 각 챕터의 exercise 로 남겨 두지요. D와 K 를 빼면 양자장론의 generator 관계와 같습니다. (Poincare algebra)

자 남은 것은 끈기를 가지고 하나씩 계산하고 상쇄해보는 일입니다. 하나씩 해보죠

먼저 첫번째 관계식

이런식으로 test function 에 가해지는 operator 를 계산하면 됩니다. 다른 관계식들도 기본적으로 똑같은 방식으로 계산합니다.

같은 색깔끼리 서로 상쇄 해서 전개해 나가면 됩니다.
하지만 작성하다가 색깔 넣는것도 귀찮아졌는지 뒤에 부터는 색을 안 칠해 놓았네요...

계산 자체는 길어 보뿐 사실 열심히 더하고 빼고 정리하면 유도되는 식입니다. ㅎㅎ

이런 대칭성[여기서는 conformal symmetry]은 노가다(?) 속에서 확인해 볼 수 있습니다 ㅎㅎ;;