[수학, 과학, 계산] ads 기하학

오늘은 ads 기하학에 관련된 이야기를 해 보려고 합니다. 이 기하를 꺼내게 된 계기는 나중에 holography 이야기를 하고 싶은데 거기에 ads 기하 내용이 필요해서이죠.

제 글이 늘 그렇듯 쉬운(?) 이야기 부터 관련 수학 계산까지 다루어 보려고 합니다.

먼저 ads 에 대한 간략한 소개를 해보도록 하죠. ads 공간, 즉 anti-de sitter 공간의 수학적 정의는 "maximally symmetric space of Lorentzian manifold with negative scalar curvature" 를 가지는 공간을 말하죠[수학책에 나와있는 정의에요 ㅠㅠ] 이 이름은 de sitter 라는 천문학자의 이름을 땃죠. de sitter space 는 ads 공간과 나머지 조건은 같고 마지막 조건이 곡률이 양인 경우를 말해요. anti- 란 것은 de-sitter 공간에서 마지막 조건이 반대(부호가 다름)을 의미하죠. 일단 ads 기하의 수학적 정의를 무슨 말인지 알수 있게 풀어 써보면, maximally symmetric 이라는 말은 가장 많은 killing vector 를 가지는 공간을 말하고, Lorentzian 이라는 것은 시간을 도입하겠다, negative scalar curvature 는 말 그대로 음의 곡률을 가진다를 말합니다.

물리적으로 말하면 흔히 Einstein 의 장방정식 solution 중에서 cosmological constant 가 음수인 해를 말하죠. (이 우주상수가 0인 maximally symmetric space 는 Minkowski 가 될 것이고 양수인 경우에를 de sitter 음수인 경우에를 anti-de sitter 로 불러요. 최근까지 anti-de-sitter space 는 꾸준하게 연구가 되어 왔죠.)

말로 서술하자고 하면 어렵죠? 이 ads 기하를 말하면 항상 나오는 그림이 있는데 이를 한번 소개해 볼까 해요.

[Mauritz Cornelius Escher, Circle Limit IV]

여러분은 박쥐? 악마가 보이나요 아니면 천사가 보이나요? ㅎㅎ
ads 기하는 음의 곡률을 가지니까 중앙의 물체는 커보이지만 경계로 갈 수록 물체가 작아진다는 것을 알 수 있죠. 이런 곡률을 가지는 공간에서 흔히 우리가 생각하는 '직선' 의 개념은 통하지 않죠. '직선' 이라는게 똑바른 선이 아닌, 굽은 선이 직선이 되어 버리죠. 이런 굽은 공간에서는 '직선' 개념을 '측지선' geodesic 으로 확장 합니다. 직선의 개념을 최소 거리로 생각하는 것 처럼 굽은 공간에서의 최소거리 개념이 이 geodesic, 측지선 개념입니다.

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이제는 ads 의 수학적 구조에 대해서 좀 알아볼까 해요. Poincare patch 에서 ads metric 을 잡아, 그것으로 부터 Einstein tensor 를 구하고 이 값이 negative cosmological constant 를 실제로 주는지 확인해 볼거랍니다.

먼저 poincare patch 에서의 D-dimensional ads metric 은 다음과 같이 생겼어요

여기서 index
,
를 나타내죠. 즉 A,B 는 모든 space time 에 대한 것이고, \mu, \nu 는 eta_{\mu\nu} 는 Flat 한 D-1 Minkowski metric 을 나타내요. 일반적인 Ads metric 에서 한 좌표를 잡아서 적절한 transformation 을 하여 위의 식을 얻는 건데, poincare patch 에 대해서는 나중에 기회가 되면 소개하도록 하죠. 이런 metric을 우리가 일반적으로 아는[일반상대론의 그 metric] 형태로 바꾸어 보면 다음과 같이 쓸 수 있지요.

connection 과 Riemann tensor를 계산하려면 metric 의 미분 형태를 알아야 해요, z 방향을 제외하고는 flat 과 같은 상황이니까 미분은 z 변수만이 의미가 있겟죠. 따라서

이 식으로 부터 connection 을 구할 수 있어요. Einstein의 General relativity 는 torsion less 한 theory 라 별 생각 없이 christofel connection 공식에 대입해서 구할 수 있죠.

여기서 non-vanishing 한 항들만 읽어보면

이제 이것들을 가지고 Ricci tensor 와 Ricci scalar, Einstein tensor 를 구할 수 있죠

리치 텐서 공식에 대입해 보면

조금 더 나아가면 scalar curvature 값이 음수가 나오는 것을 알 수 있습니다.

이제 Einstein tensor 를 구할 수 있습니다. 먼저 Einstein equation 을 살펴보죠

우리는 matter 가 없는 상황을 생각하니까 우변은 0 이 될 것이고 식을 정리하면

위 식을 정리하면 negative cosmological constant 를 갖는 다는 것을 확인 할 수 있습니다.

이로써 이 포스트의 목적이었던 Ads 기하가 negative scalar curvature 를 갖는다는것 과 negative cosmological constant 를 갖는 다는 것을 보였네요.

한번쯤은 주어진 정보(?) 사실 등을 직접 확인해 보는 경험을 해 볼 필요가 있다고 봅니다; ㅎㅎ