[수학, 계산] 리만기하5-1 // Transformation of connection

이번 포스팅에는 connection 의 transformation law 에 대해서 유도해 봄으로써 connection 이 tensor 가 아니라는 것을 보이려고 한다. 더 나아가 connection 은 tensor가 아니지만 connection 의 anti-symmetrized 한 것은 tensor 가 된다는 것을 보이려고 한다.

먼저 리만기하에 관련된 connection 보다 좀 더 일반화된 affine connection 에 대해서 알아보도록 하자.

affine conection, nabla 는 다음과 같은 성질을 만족하는 것을 말한다.

여기서 f, g 는 scalar function 을 말하고 X,Y 는 vector 를 말한다.

특별히 coordinate basis 에서 affine connection 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

이게 왜 Affine connection 이라고 불리는 가는 다음 포스팅에서 다루어 보도록 하겠다.

coordinate 에 대해서 위에 처럼 쓰일 수 있기에, coordinate transformation 에 대해서 어떻게 이 Affine connection 이 변화하는지 알아 볼 수 있다. 일반적으로 tensor (p,q) form 의 경우 chain rule 처럼 일정한 transformation rule 을 가진다.

먼저 x -> y 로 coordinate transformation 하는 경우

이런 식으로 chain rule 을 적용할 수 있다.

이를 이용하여 Tensor 의 transformation rule 을 적어보면

Affine connection의 경우 transformation rule을 적어보면

로 Connection 은 tensor 처럼 transformation 하지 않는 다는 것을 알 수 있다. 즉 Connection 은 tensor 가 아니다.

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자 한번 저 위의 transformation 식을 유도해 보자.

coordinate y basis 에서 connection 은 다음과 같이 쓰이게 될 것이다.

이로부터

y^l 을 양변해 가해주고 dummy variable 들을 정리해 주면 다음과 같은 식을 얻는다.

를 얻는다.

자 대칭성을 잘 살펴보자, [리만 기하학에서는 affine connection 의 밑의 두 index 에 symmetry 성질을 부여하지만 affine geometry 에서는 꼭 그럴 필요가 없다. ]
첫번 째 항의 경우 i,j 에 대해서 대칭이다. 즉 이 것으로 부터 i,j 의 anti-symmetrized 항은 다음과 같이 coordinate transformation 한다는 것을 알 수 있다.

앞의 tensor의 transformation 을 살펴보면 (2,1) tensor의 transformation 과 관계가 있다는 것을 알 수 있다.
즉 connection 의 anti-symmetrized 부분은 텐서 역할을 한다. [이 차이는 사실 torsion tensor 와 연관이 있다. Riemannian geometry 에서는 이 connection 의 i,j 부분은 symmetric 하기 때문에 위의 값은 항상 0이다. 즉 torsion-less 이다]