[수학]실수와 유리수의 차이//완비성공리

어제 아파트의 한 중학생으로부터

R(실수)과 Q(유리수) 의 차이점에 대해 질문을 받았다. [지식의 저주!!! 관련 글]

[ 그 친구 왈 : "저희 엄마가 그러는데 아저씨가 수학 잘한다면서요? ㅋㅋㅋ 혹시 실수와 유리수의 차이점에 대해서 설명해 주실 수 있어요?"]

중학교 학생에게 어떻게 답을 해 주어야 그 친구를 만족 시킬 수 있을까?

먼저 R 과 Q 의 공통점들에 대해 살펴보자

대수적으로 R 과 Q 는 모두 Field 이다. + x 나누기(0 제외) 에 의해 연산이 닫혀있다. [ 체 공리]

또 R, Q 의 원소 사이에 대소관계가 있다. [순서 공리]

결론적으로 이 두 수의 큰 차이는 R은 Complete 하지만 Q 는 complete 하지 못하다.

[ completeness of the real numbers]

쉽게 말하면 실수는 빈틈이 없지만, 유리수는 빈틈, "Gap"이 있다.

예를 들어 실수의 부분집합 A = (-sqrt{2}, \sqrt{2}) 가 있다고 하자. 이 때 이 부분집합의 상계, 하계가 되는 sqrt{2}, \sqrt{2} 는 무리수이기에 실수에 속하지만 유리수에는 속하지 않는다. 즉 실수의 부분집합의 경계들은 항상 실수로 적을 수 있지만 실수의 부분집합의 경계들은 때떄로 유리수로 적지 못할 수 도 있다는 것이다.

즉 실수와 실수 사이에 임의의 점들은 모두 실수지만, 유리수와 유리수 사이의 임의의 점들은 모두 유리수가 아니다. [무리수가 존재한다!]

이런 의미에서 실수는 빈틈이 없다라고 하고 유리수는 빈틈이 있다 라고 한다.

이 말로 중학생 친구를 어느 정도 만족 시킬 수 있을 거라 보지만, [사실 주입식 교육으로 간단히 실수=유리수+무리수 야 라고 말하면서 유리수에는 무리수가 없지만 실수에는 무리수가 있다 등으로 원소의 속성으로 두 수의 차이를 설명해 주어도 됬었다. 하지만 무리수라는 개념을 도입해야 한다는게.... root 중학교 고학년 때 배웠던 것 같은데.. 맞나? 모르겠다 ㅋㅋㅋ ]

좀 더 나아가보자.

해석학은 이 완비성 공리에서부터 기원한다. [해석학은 R혹은 R^n 에 대한 학문이다. R 혹은 R^n 에 사는 함수를 배우고, 거기서 미분 그리고 적분을 배우는 과목이다. ]

이로부터 아르키메데스의 정리나, 유리수의 조밀성, 단조 증가 등등 해석학의 Main Theorem 들은 이 완비성 공리로부터 유도 될 수 있다.

완비성 공리를 이해하려면 용어 정리가 필요하다.

먼저, 최대, 최소와, 상계, 하계에 대한 정의가 필요하다.

최대, 최소는 각 집합에 속하는 원소의 최댓값과 최솟값을 의미한다.

하지만 상계와 하계는 그 집합에 속하지 않아도 되는 그 집합의 최댓값보다 크거나 같은, 최소값보다는 작거나 같은 그런 집합을 의미한다.

더 나아가 이러한 상계와 하계에 최솟값과 최댓값을 최소상계, 최대하계 영어로는 least upper bound=sup(상한), greatest lower bound=inf(하한) 라고 하는데, R 위에서 폐구간인 경우 구간의 최댓값과 sup 은 같은 값을 가지고, 최솟값은 inf 과 같은 값을 가진다. [ ㅅ이 들어가는게 너무 ㅋㅋㅋㅋ 수학 용어를 새롭게 편찬하면서 ㅅ이 들어갔다고 한다.]

하지만 개구간에서는 상황이 다르다.

마우스로 그림 그리는것은 역시나 힘들다

저 그림으로 상계, 하계, 최대, 최소의 정의가 피부에 와닿았으면 좋겠다. [상계, 하계는 최대, 최소의 일반화된 개념이다. 해당 부분집합의 set 이 아닌 전체 집합에서 그 부분집합을 바라보는 관점이다.]

그렇다면 완비성 공리는 무엇이냐

공집합이 아닌 실수의 부분집합 S 가 위로 유계이면, 반드시 그 상한이 (실수에) 존재한다.

그림으로 그리면

위로 유계이면, sup 이 (저기선 b) 존재하고 그 값이 R 에 있다는 말 (b 는 R 의 원소)

사실 이 공리는

공집합이 아닌 실수의 부분집합 S 가 아래로 유계이면, 반드시 그 하한이 (실수에) 존재한다.

와 동치 관계이다.

유리수는 뭐가 다른 걸까? 앞에 썼던 예제를 그대로 분석해보자

아 신형 아이패드를 가지고 싶네 ㅋㅋㅋㅋ 몇달 책 안 사고 돈을 모아야 하나?

이 완비성공리를 가지고 우리가 그토록 자연스럽게 여겼던 실수체계의 성질들을 증명 할 수 있다.

가장 대표적으로 아르키메데스의 성질을 증명해보자.

임의의 a>0, b in R 에 대해, na>b 인 자연수 n 이 존재한다.

증명하기 위해 일단 먼저 확인해 보아야 할 부분은 등호가 > 이다는 점이다.

집합은 쉽게 S={ na | n 은 자연수} 를 생각할 수 있으나, 상계 하계의 정의는 등호가 들어가니까 뭔가 바로 증명이 안되 보인다.

그렇다, 귀류법[주어진 상황을 부정하여 모순을 이끌어냄]을 사용하여 증명하면 된다.

해석학에서는 이 성질을 이용하여, 수열 {1/n } 이 0으로 수렴하는 것을 보인다.

아무튼 실수와 유리수 차이를 설명하려다가 완비성 공리까지 왔고 또 아르키메데스 성질까지 왔는데, 쓰다보니 핵심은 아이패드나 전자노트를 사고 싶다는 것이다; ㅋㅋㅋ [오랜만에 해석학 계산(?) 하니까 재미있네 ㅋㅋㅋ]

아이패드가 너무 비싸면, 전자노트라도 하나 살까? ㅋㅋㅋㅋ