Derivadas parciales: funciones de dos variables
Para esta ocasión voy a explicar el abordaje de las derivadas de las funciones dos variables llamadas también derivadas parciales.
Para el abordaje de las derivadas parciales quiero centrarme básicamente en los siguientes aspectos:
[1] Sustentación teórica para abordar las derivadas parciales por definición.
[2] Exponer una función algebraica del tipo polinómica para realizar la derivada parcial por definición.
[3] Exponer una función algebraica del tipo polinómica para realizar la derivada parcial aplicando el precepto fundamental en que para derivar con respecto a una variable simplemente la otra se mantiene como constante, aparte de esto se aplican las reglas básicas de derivación.
Derivada parcial por definición
En el caso de las funciones de más de una variable no existe otra opción que derivar las funciones parcialmente, en esta explicación (clase virtual) se abordaran las funciones del tipo f(x,y)= z (es decir funciones de dos variables. Para las funciones de dos variables se van a derivar parcialmente, en este caso primeramente vamos a ver el abordaje por definición, en donde básicamente encontraremos la derivada parcial respecto a la variable x, y la derivada parcial respecto a y, para ello se utilizan las siguientes ecuaciones:
Para complementar el uso y aplicación de la derivada por definición, les invito visualizar el siguiente recurso audiovisual:
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Ejemplo de derivada parcial por definición
Para encontrar la aplicación de la derivada parcial por definición resulta conveniente plantearnos alguna función de dos variables y encontrar la derivada parcial respecto a X e Y. En este caso la función que seleccione es
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Para ver la solución de la derivada parcial por definición de dicha función los invito a visualizar el siguiente vídeo en donde se explica el paso a paso de la mencionada resolución.
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Ejemplo de derivada parcial aplicando las reglas básicas de derivación
Es importante mencionar que al igual que la derivada por definición de funciones con una sola variable, las derivadas parciales de funciones de dos variables también se pueden realizar empleando las reglas básicas, eso sí sin perder de vista el precepto teórico que dice que para encontrar la derivada respecto a una variable la otra tiene que ser constante, siguiendo estas premisas a continuación les recomiendo la visualización del siguiente vídeo:
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Conclusión y aportes
El abordaje de esta unidad nos enseña a poder analizar y evaluar el dominio para funciones de dos variables, en donde la inecuación resultante nos puede ayudar a graficar el dominio de la función, otro aspecto importante es el hecho de que una vez que esta graficado el dominio podemos seleccionar cualquier punto que pertenezca al dominio y puntos que no pertenecen al dominio, y con ello se concluye que:
[1] Los puntos que pertenecen al dominio arrojan imágenes reales para valores de X e Y que pertenezcan al dominio.
[2] Si deseamos encontrar imágenes con valores de X e Y que no pertenezcan al dominio entonces no debería de arrojar imágenes reales.
Referente a las derivadas parciales es importante acotar que el abordaje para poder resolver la derivada parcial respecto a X e Y nos da la misma solución si lo hacemos por definición o aplicando las reglas básicas de derivación.
Si tomamos en cuenta que para derivar parcialmente respecto a una variable la otra la debemos de considerar constante y contando con las reglas básicas de derivación, se podrá asumir el abordaje para encontrar la solución a derivadas parciales de funciones de dos variables que pueden resultar mucho más complejas si se decide hacer por definición.
Espero contribuir efectivamente con este contenido académico, sin dejar de lado el carácter de aprendizaje que resulta necesario para absorber este tipo de conocimientos.
Hasta una próxima entrega, se despide tu amigo @carlos84.
Nota: Todas las imágenes, vídeos y ecuaciones son de mi autoría. Las imágenes fueron elaboradas empleando las herramientas de diseño de Microsoft PowerPoint y las ecuaciones fueron elaboradas con las herramientas de insertar ecuación de Microsoft Word.
Referencia consultada y recomendada