Haciendo los penales más justos
Las matemáticas establecen los parametros que hacen a los tiros de penal más justos
“El fútbol es un juego simple. 22 hombre persiguen una pelota por 90 minutos y al final los alemanes siempre ganan,” dijo una vez Gary Lineker. A menudo, la victoria de los alemanes se produce después de una tanda de penales, lo que mucha gente considera injusto. La verdad es que no lo es; hay pruebas estadísticas de ese hecho. También hay sugerencias sobre cómo hacer los tiros más justos basados en un razonamiento matemático firme.
Las matemáticas han sido resueltas por Steven J. Brams y Mehmet S. Ismail. Brams y Ismail no están preocupados por el equipo alemán o por algún otro en particular, sino con el hecho de que el orden de patear el balón en una ronda de penaltis está decidida por el lanzamiento de una moneda. El equipo que gane el lanzamiento de la moneda invariablemente decide patear primero con la creencia de que esto les dará una ventaja. Mientras marque su primer tiro, el equipo contrario estará bajo una presión psicológica enorme para igualar al rival.
Esta idea es confirmada por las estadísticas. “El ganador de lanzamiento de la moneda siempre elige patear primero y gana aproximadamente 60% de las veces, así que el primer equipo en patear tiene una ventaja de 3/2 o del 50% en ganar, comparado con el segundo equipo en patear”, dice Ismail. “Nosotros pensamos que esta es una brecha significativa dada la importancia del partido para ambos equipos”. Esta estadística viene de un estudio de todos los torneos de fútbol profesional ocurridos entre 1970 y 2008 (incluyendo copas mundiales, campeonatos europeos, copas americanas, copas de naciones africanas y copas de oro). Entrenadores y jugadores están conscientes de estas ventajas. Cuando se les preguntó en una encuesta si elegirían ir primero, después de ganar el lanzamiento de la moneda, más del 90% dijo que irían primero.
Como las reglas dictan, el equipo que gane el lanzamiento de la moneda, si decide patear primero, lo hará en cada ronda de penaltis: denominado con la A al equipo ganador del lanzamiento y B para el otro, el orden de las patadas sería AB AB AB AB AB (y así sucesivamente si la ronda de penaltis se extiende más allá de 5 tiros). Esto significa que el equipo A mantiene la ventaja de patear primero con cada una de las rondas. Una manera de corregir el equilibrio es cambiando el orden de patear. La liga inglesa de fútbol está probando una regla en la que el orden de las patadas es AB BA AB BA etc. La FIFA y la UEFA también están examinando está regla llamada ABBA. “Esta es una gran oportunidad dada la forma tradicional y conservadora que ha mantenido la FIFA”, dice Ismail. Esta regla ya se usa en las rondas de desempate del tenis.
La regla ABBA alterna al equipo que patea primero en las rondas de una tanda penaltis. Esto definitivamente parece ser más justo, al menos hasta que haya un número par de rondas, así que cada equipo podrá patear primero la misma cantidad de veces.
Pero Brams e Ismail también tiene una sugerencia para otra regla que es un poco más sutil. De acuerdo con su regla de “ponerse al día”, el equipo que va primero en una ronda en particular, debería ser el que perdió en la última ronda. Si la última ronda fue un empate, entonces el equipo que vaya primero debería ser el que quedó segundo en la ronda empatada. Solo la primera patada deberá ser decidida por el lanzamiento de la moneda. “La regla de ponerse al día da una oportunidad al equipo que lo hizo peor en la ronda anterior, por lo que los puntas evolucionan más cerca el uno del otro”, dice Ismail. Esto hace al juego más competitivo y también más excitante de ver.
Pero, ¿es justo?
“La inspiración para estudiar la imparcialidad de las reglas en los deportes vino de Steven Brams, un experto en la división justa y teorías de juego, sus trabajos anteriores sobre la equidad y los deportes, incluyen una publicación en Plus”, dice Ismail. “Nosotros comenzamos a trabajar juntos cuando lo visité en el Departamento de Política de la Universidad de Nueva York”.
Ismail y Brams han demostrado que ambas reglas son justas en el sentido de que los equipos de más o menos la misma habilidad tiene una probabilidad aproximada de 50:50 de ganar. Ese es el caso incluso cuando hay un número impar de rondas (no es exactamente 50/50, pero cerca). Las matemáticas que utilizaron para resolver esto no son particularmente difíciles. Al observar una gran cantidad de tiros penales se puede estimar la probabilidad de que el equipo que patee primero en una ronda determinada anote, y la probabilidad del equipo que patee segundo en una ronda determinada puntúe. Una vez que se tiene esos valores, se puede calcular la probabilidad de cada uno de los puntajes finales de una tanda de penales. Desde aquí se puede calcular la probabilidad de ambos equipos de ganar una ronda completa.
Para estimar las probabilidades de que el primer equipo anote en una ronda determinada y de que el segundo equipo también lo haga Brams e Ismail miraron los datos grabados de las competiciones profesionales entre 1970 y 2008 esto dio los siguientes valores:
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Ronda 1 |
Ronda 2 |
Ronda 3 |
Ronda 4 |
Ronda 5 |
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Probabilidad de que el equipo que patee primero anote |
0.79 |
0.82 |
0.77 |
0.74 |
0.74 |
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Probabilidad de que el equipo que patee segundo anote |
0.72 |
0.77 |
0.64 |
0.68 |
0.67 |
Como puedes ver, el equipo que patea primero siempre tiene la mayor posibiliad de anotar.
Escribamos A para el equipo que ganó el lanzamiento de la moneda y B para el equipo que lo perdió. Brams e Ismail usaron las probabilidades anteriores para calcular la probabilidad de que A esté delante después de una ronda dada, la probabilidad de que B tome la delantera en una ronda dada y la probabilidad de que haya un sorteo después de una ronda determinada. Para la regla actual las probabilidades funcionan dela siguiente manera:
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Después de la Ronda 1 |
Después de la Ronda 2 |
Después de la Ronda 3 |
Después de la Ronda 4 |
Después de la Ronda 5 |
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Probabilidad de que el equipo A tome la delantera |
0.221 |
0.266 |
0.353 |
0.362 |
0.385 |
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Probabilidad de que el equipo B tome la delantera |
0.151 |
0.241 |
0.270 |
0.310 |
0.326 |
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Probabilidad de empate |
0.628 |
0.492 |
0.377 |
0.328 |
0.289 |
La probabilidad de que el equipo A esté adelante y que el equipo B esté adelante después de una ronda determinada se acerca a medida que pasan las rondas. Las probabilidades después de 5 rondas 0.385 y 0.326, son más cercanas unas de otra, dando oportunidades casi iguales para ambos equipos. La regla de ponerse al día realmente parece hacer las cosas más justas.
Por supuesto, está la posibilidad de que después de 5 rodas los equipos aún estén empatados. Si esto pasa los tiros van a muerte súbita. Si un equipo anota en una ronda en la que el otro equipo falla, entonces el equipo anotador gana el juego. De nuevo, usando estimaciones de probabilidades de que un equipo anote en una patada, Brams e Ismail estimaron la posibilidad de que cualquiera de los dos equipos gane en muerte súbita. Bajo la regla actual, esta es de 0.64 para el equipo A y 0.36 para el equipo B, mientras que aplicando la regla de “ponerse al día” los valores son 0.51 y 0.49, lo que es considerablemente cercano al 50/50 de posibilidades para cada equipo.
Si tienes una mente astuta quizás tengas una objeción en este momento. Dado que la regla de “ponerse al día” permite a un equipo obtener ventaja a través de fracaso, ¿puede haber alguna vez una situación en la cual un equipo esté mejor perdiendo un penal que anotando? ver a los jugadores descaradamente pateando la pelota de la forma incorrecta no sería muy divertido para los fanáticos, así que tal situación debe ser evitada. Brams e Ismail consideraron esta pregunta también y encontraron que, siempre y cuando las probabilidades de que un equipo anote cuando patea primero y también lo hagan cuando patee segundo difieran en no más de 1/2, lo cual es muy probable, tal situación no surgirá.
La regla de “ponerse al día” fue probada por MVV Maastricht, el club del poblado donde Ismail hizo su PhD, pero los resultados fueron inconclusos. Está claro que la regla de “ponerse al día” es más justa que la regla actual, pero para distinguirla de la regla ABBA se necesita disparos donde las dos reglas resulten en un orden diferente de patadas. Sin embargo, dado que ambos equipos tienden a anotar o fallar en una ronda determinada, las dos reglas a menudo dan el mismo orden, así que se necesitarían muchos tiros para probar estas dos reglas. Esto, idealmente, es lo que a Ismail le gustaría que pasara: Largas pruebas para ambas reglas para decidir cuál debería ser usada.
Brams, Ismail y los matemáticos D. Marc Kilgour y Walter Stromquist también aplicaron la regla de “ponerse al día” en los llamados deportes de servicio en los que un equipo o jugador sirve la pelota (squash, bádminton, pin-pon, voleibol), y han descubierto que en este contexto hace que los juegos sean más justos y de este modo más competitivos. Y hay un contexto más amplio también. Ismail es un economista y Brams un científico político, sus intereses no están puestos solo en los deportes, sino en la equidad en todo tipo de contexto, desde dividir los bienes y recursos, hasta las elecciones. Brams e Ismail actualmente están explorando si su sistema de recuperación podría aplicarse también a situaciones no deportivas.
Fuente: https://plus.maths.org/content/making-penalties-fairer
Posted from my blog with SteemPress : https://matematicapositiva.com.ve/haciendo-los-penales-mas-justos/