El objetivo de este post es definir la traspuesta de una matriz, enunciar sus propiedades y verificarlas a través de ejemplos.

La traspuesta de una matriz A es otra matriz denotada A^t tal que sus filas corresponden a las columnas de de A.
Ejemplo: Si entonces A^t=
Veamos un ejemplo donde la matriz no sea cuadrada:
Sea B= entonce B^t=.
Observe que B es una matriz de orden 3x4 y B^t es de orden 4x3.


𝓔𝓷 𝓰𝓮𝓷𝓮𝓻𝓪𝓵 𝓹𝓸𝓭𝓮𝓶𝓸𝓼 𝓭𝓮𝓬𝓲𝓻 𝓺𝓾𝓮 𝓵𝓪 𝓽𝓻𝓪𝓼𝓹𝓾𝓮𝓼𝓽𝓪 𝓭𝓮 𝓾𝓷𝓪 𝓶𝓪𝓽𝓻𝓲𝔃 A 𝓭𝓮 𝓸𝓻𝓭𝓮𝓷 m𝔁n 𝓮𝓼 𝓾𝓷𝓪 𝓶𝓪𝓽𝓻𝓲𝔃 A^𝓽 𝓭𝓮 𝓸𝓻𝓭𝓮𝓷 n𝔁m.

Por ejemplo si A es de orden 5x3 entonces A^t es de orden 3x5.

Propiedades de la operación traspuesta de una matriz.

Ejemplo: Sean las matrices:

A= , B= y C=

Verificar la primera propiedad de la operación traspuesta de una matriz para las matrices A y B:

(A + B)^t= A^t +B^t

Verificación:

Calculemos inicialmente (A+B)=. Luego su traspuesta es (A+B)^t=

Calculemos ahora A^t+B^t=.

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Verificar la segunda propiedad de la la operación traspuesta de una matriz para la matriz A:

(A^t)^t= A

Verificación:

Calculemos (A^t)^t= ^t=

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Verificar la tercera propiedad de la la operación traspuesta de una matriz para la matriz A y K=-3:

(kA)^t= kA^t, para algún escalar k

Verificación:

El lector podrá verificar fácilmente que: (-3A)^t = = , y que -3A^t =

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Verificar la cuarta propiedad de la la operación traspuesta de una matriz para el producto de matrices A C

(AC)^t= C^tA^t

Verificación:
y
Por otro lado:

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Referencias:
Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.
La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerPoint.
El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.
Algunos de los ejercicios fueron resueltos con la ayuda de Calculadora de matrices
Efecto en el texto y separador creados con la ayuda de https://www.messletters.com/es/