Matemáticas y Arte 5. Poliedros, incrustaciones y disecciones

in art •  2 months ago


Dibujar poliedros fue un terreno de prueba inicial para ideas relacionadas con el dibujo en perspectiva. Los artistas del Renacimiento se involucraron en tratar de construir sobre referencias históricas a "poliedros de Archimedea" que fueron transmitidos a través de las escrituras de Pappus. ¿Qué constituía un conjunto completo de poliedros convexos con la propiedad de que cada vértice se veía como cualquier otro vértice y cuyas caras eran polígonos regulares, quizás no todos con el mismo número de lados? Quizás sorprendentemente, no se produjo una reconstrucción completa hasta el trabajo de Kepler (1571-1630), que encontró 13 de esos sólidos, a pesar de que uno puede argumentar que hay 14 de esos sólidos. (Pappus-Archimedes falló una en tiempos antiguos. La definición moderna de sólidos de Arquímedes los define como poliedros convexos que tienen un grupo de simetría en el que todos los vértices son iguales. Usando esta definición hay 13 sólidos, pero hay pocas razones para creer que en la antigua Grecia, los geómetras pensaban en términos de grupos y no en términos de equivalencia local de vértices, es decir, el patrón de caras alrededor de cada vértice era idéntico).

En tiempos más modernos, los poliedros han inspirado a artistas y matemáticos interesados ​​en las artes. Inspirado por los poliedros, Stewart Coffin ha creado una maravillosa variedad de diseños de rompecabezas que requieren armar piezas que diseñó hechas de maderas raras para formar poliedros. Los rompecabezas de Ataúd son notables tanto por su ingenio como por sus rompecabezas y su belleza. Esta belleza es un reflejo de la belleza de los objetos poliédricos en sí, pero también de la belleza de las maderas raras que utilizó para hacer sus rompecabezas. Coffin mostró creatividad al seleccionar variantes simétricas de poliedros conocidos. El trabajo de Coffin, como el de Escher, ha sido una inspiración para otros. Los buenos acertijos engendran la misma sensación de asombro que las bellas matemáticas inspiran. George Hart, que tiene experiencia en informática, es un ejemplo de una persona que contribuye a la teoría matemática de los poliedros, mientras que al mismo tiempo utiliza sus habilidades como escultor y artista para crear obras originales inspiradas en objetos poliédricos.


Existe una larga tradición de hacer modelos precisos de poliedros con propiedades de regularidad. Es común en las conferencias de matemática que los geómetras presenten una sala de modelos donde los matemáticos que disfrutan de la construcción de modelos pueden mostrar las bellezas de la geometría en una forma física. Complementan la belleza de tales objetos geométricos en el ojo de la mente. La belleza de los sólidos poliédricos en manos de un creador de modelos experto da como resultado lo que son, de hecho, obras de arte. Magnus Wenninger es el autor de varios libros sobre la creación de modelos. Sus modelos son especialmente hermosos. Aquí hay una pequeña muestra, que solo insinúa la variedad de modelos que Wenninger ha fabricado durante muchos años. Sus modelos de poliedros "estrellados" son particularmente llamativos.



Un mosaico del plano es una forma de llenar el plano sin agujeros o superposiciones con formas de varios tipos. Por ejemplo, se puede marcar el plano con copias congruentes de cualquier triángulo y, lo que es más sorprendente, con copias congruentes de cualquier cuadrilátero simple, ya sea convexo o no. Los tonos están estrechamente relacionados con los diseños artísticos que se encuentran en telas, alfombras y papel tapiz. Aunque hubo análisis dispersos en diferentes formas de embaldosar el avión que datan de la antigüedad, había sorprendentemente poco en el camino de una teoría de las inclinaciones del plano en comparación con lo que se hizo para entender los poliedros. Kepler hizo un trabajo importante en los mosaicos, pero desde su época hasta finales del siglo XIX, se hizo relativamente poco trabajo. Lamentablemente, no solo el trabajo en mosaicos fue esporádico, sino que a menudo fue incompleto o engañoso. La publicación del libro monumental de Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard, Tilings and Patterns, cambió esto. Se abordaron y resolvieron muchos problemas nuevos de mosaico y se desarrollaron una variedad de herramientas de software para crear ornamentos (y poliedros y juegos) de diferentes tipos. Daniel Huson y Olaf Fredrichs (RepTiles) y Kevin Lee (Tesselmania) desarrollaron muy buenos programas de mosaico, pero algunas de las ubicaciones donde este software solía estar disponible ya no son compatibles.

Una fuente de arte más reciente inspirada en las matemáticas se ha relacionado con las disecciones. Un buen punto de partida para las ideas aquí es el notable teorema conocido como el Teorema de Bolyai-Gerwien-Wallace. Establece que dos polígonos (simples) A ​​y B en el plano tienen la misma área si y solo si es posible cortar uno de los polígonos en un número finito de piezas y ensamblar las piezas para formar el otro polígono. En una dirección, este resultado es directo: si se ha cortado el polígono A en piezas que se ensamblarán para formar el polígono B, entonces el área de B es la misma que el área de A. La agradable sorpresa es que si A y B tienen la misma área, entonces uno puede cortar A en finitas muchas piezas y volver a unir las piezas para obtener B. ¿Dónde entra el arte? Dado dos polígonos con la misma área, uno puede solicitar dos extensiones del Teorema de Bolyai-Gerwien-Wallace:

a. Encuentra el menor número de piezas en las que A se pueda cortar y volver a armar para formar B.

segundo. Encuentra piezas con propiedades atractivas en las que A pueda cortarse y volverse a ensamblar desde B. Estas propiedades podrían ser que todas las piezas son congruentes, similares o tienen bordes que están relacionados por alguna transformación geométrica atractiva.

Greg Frederickson ha reunido una gran cantidad de material sobre cómo los polígonos de una forma pueden diseccionarse en otros polígonos de la misma área. Estas disecciones se concentran en disecciones de polígonos regulares (que pueden ser convexos o "en forma de estrella") en otros polígonos regulares. Uno podría esperar que la regularidad matemática de los objetos conduzca a soluciones estéticas. Este resulta ser el caso.

Frederickson también describe cómo con un mecanismo adecuado, uno puede abordar cómo adjuntar las piezas de un polígono y moverlas para que creen el otro polígono. Estas disecciones se conocen como disecciones con bisagras. La primera forma en que viene a la mente bisagrar las piezas es unir las piezas en sus vértices. Hay bellos ejemplos de disecciones con bisagras de este tipo, incluidas las que prueban el teorema de Pitágoras geométricamente al mostrar cómo se pueden cortar los cuadrados en las dos patas de un triángulo rectángulo y ensamblar las piezas para formar el cuadrado de la hipotenusa. Sin embargo, hay otra forma ingeniosa de hacer la bisagra. Esto implica abisagrar los bordes para que los polígonos que se unen a lo largo de estos dos bordes puedan rotar uno con respecto al otro. Este tipo de bisagra se conoce como torsión-hinging. Frederickson organizó varias disecciones con bisagras muy atractivas para realizarlas físicamente con secciones poligonales de la disección involucradas para hacer de maderas preciosas. Por su belleza, estos modelos físicos se basan en gran medida en las matemáticas detrás de las disecciones. Por ejemplo, en una de las disecciones con bisagras realizadas físicamente encargadas por Frederickson, un hexágono regular con un orificio es una bisagra giratoria diseccionada en un hexagrama con un orificio de la misma área.




Las matemáticas detrás de este proceso es una forma de diseccionar un hexágono con un agujero en un hexagrama con un agujero. Basándose en esta disección, Frederickson produjo inteligentemente una disección de bisagra y torsión. Este objeto tan atractivo no es muy interesante como un rompecabezas, pero crea un efecto encantador al observar cómo la transformación inesperada entre las dos formas evoluciona a medida que uno manipula las piezas con bisagras.


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