Understanding Pascal Triangle Formulas in Mathematics

Pascal Triangle Formulas - In the mathematics lesson, the pascal triangle can be defined as a geometric rule that contains the arrangement of binomial coefficients that resemble triangles. This rule was discovered and developed by a French mathematician named Blaise Pascal. You need to know that there are various unique facts stored in this pascal triangle. The pascal triangle consists of several rows wherein each line contains numbers in the form of coefficients rather than the form of cadence expansion from binomial. If you are not familiar with the pascal triangle rules, here is one example of a picture of the pascal triangle you can observe:

Can be seen from the picture above that the top or the top of the pascal triangle (row 0) is filled with the number 1. Then under it (row 1) is filled with the numbers 1 and 1. Then the second line (row 2) with the numbers 1 and 1 on the sides then on the inside is filled with the result of the sum of two numbers on it (1 + 1 = 2). As for the third row is filled with numbers 1 and 1 on the side then the center is filled with the result of the sum of two numbers in the 2nd row (1 + 2 = 3). Then look at the fourth line, the number 4 is obtained from the sum of the two numbers above it (1 + 3) as well as the number 6 obtained from the sum of two numbers above it (3 + 3). and so on.
Explanation of Pascal Triangle Formulas in Mathematics
The numbers present in each line of the pascal triangle provide the simplified coefficient of form (a + b) n.
If we describe the form (a + b) n, it will be seen that the efficiency obtained from the form is exactly the same as each number that exists on each line of the above pascal triangle. Consider the following simplifications:

1. (a + b) 1 = a + b à the coefficients are 1 and 1
2. (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 à the coefficients are 1, 2, and 1
3. (a + b) 3 = (a + b) (a2 + 2ab + b2)
   = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
   = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 à the coefficients are 1, 3, 3, and 1

If we note, the number pattern is actually the coefficient of the expansion of the binomial rank, you should consider the following example:
(x + y) 4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
that is, at i = 4 the coefficients of the 4th binomial rank exponents of 1, 4, 6, 4, and 1 are found to be the numbers that fill the 4th row of a Pascal triangle. Now consider the Binomial Theorem below:

From the decomposition of the above formula, it can be generally concluded that the sequence of numbers present in row i = k in a Pascal triangle can be written as follows:

For more details let us take the example for the 2nd and 3rd numbers that exist in the 5th row in Pascal's triangle are:

From the above pattern can also be obtained a new formula that can be used to determine the numbers a i, j which is a number that is in the row to-i and the jth column as follows:

Let's say we want to find the number that is in the position of line 7 and right on the 6th column then the formula calculation is:

From the description of the formula, we can write the sequence of numbers in the diagonal ke-d to be as follows:

So in the end we get the n th term formula of the sequence of numbers in the diagonak ke-d as below:

to prove the formula, let's try to find the 3rd diagonal on a Pascal triangle that has the pattern n (n + 1) / 2. Here are the test results:

More or less so how to Understand Pascal Triangle Formulas in Mathematics that can be Basic Mathematical Formulas explain to all of you. Hopefully you can understand it well and understand about the pattern of numbers that apply in the Pascal triangle. See you again in other math materials.

---

Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika
Rumus Segitiga Pascal - Di dalam pelajaran matematika, segitiga pascal dapat diartika sebagai sebuah aturan geometrri yang berisi susunan koefisien binomial yang bentuknya menyerupai segitiga. Aturan ini ditemukan dan dikembangkan oleh sorang matematikawan asal perancis yang bernama Blaise Pascal. Perlu kalian ketahio bahwa ada beragam fakta unik yang tersimpan di dalam segitiga pascal ini. Segitiga pascal terdiri dari beberapa baris dimana dalam setiap barisnya terkandung bilangan-bilangan yang berupa koefisien daripada bentuk ekspansi pangkat bilangan cacah dari binomial. Jika belum paham dengan aturan segitiga pascal, berikut adalah salah satu contoh gambar dari segitiga pascal yang bisa kalian amati:

Bisa dilihat dari gambar diatas bahwa puncak atau bagian teratas dari segitiga pascal (baris ke 0) diisi dengan angka 1. Kemudian di bawahnya (baris ke 1) diisi dengan angka 1 dan 1. Kemudian baris elanjutnya (baris ke-2) tetap di isi dengan angka 1 dan 1 dibagian sisinya kemudian pada bagian dalam diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (1+1=2). Sedangkan untuk baris ketiga diisi dengan angka 1 dan 1 pada bagian sisi kemudian bagian tengahnya diisi dengan angka hasil dari penjumlahan dua buah bilangan yang ada pada baris ke-2 (1+2 =3). Kemudian perhatikan pada baris keempat, angka 4 di dapatkan dari hasil penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (1+3) begitu juga angka 6 diperoleh dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (3 + 3). dan begitu seterusnya.
Penjelasan Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika
Bilangan-bilangan yang ada pada setiap baris segitiga pascal menunjuhkan koefisien yang berupapenyederhanaan bentuk dari (a + b)n.
Apabila kita menjabarkan bentuk (a + b)n tersebut, maka akan terlihat bahwakoefisien yang diperoleh dari bentuk tersebut sama persis dengan tiap-tiap bilangan yang ada pada setiap baris dari segitiga pascal di atas. Coba perhatikan penyederhanaan berikut ini:

1. (a + b)1 = a + b à koefisiennya adalah 1 dan 1
2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 à koefisiennya adalah 1, 2, dan 1
3. (a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
   = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
   = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 à koefisiennya adalah 1, 3, 3, dan 1

Jika kita perhatikan, pola bilangan tersebut sebenarnya adalah koefisien dari expansi pangkat binomial, coba kalian perhatikan contoh berikut ini:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
artinya, pada i=4 diperoleh koefisien dari expansi pangkat binomial 4 yaitu 1, 4, 6, 4, dan 1 yang ternyata adalah bilangan-bilangan yang mengisi baris ke-4 pada sebuah segitiga Pascal. Sekarang coba perhatikan Teorema Binomial di bawah ini:

Dari penguraian rumus diatas, dapat disimpulkan secara umum bahwasannya barisan bilangan yang ada pada baris i=k di dalam sebuah segitiga Pascal dapat dituliskan menjadi seperti berikut ini:

Untuk lebih jelasnya mari kita ambil contoh untuk bilangan ke-2 dan ke-3 yang ada pada baris ke-5 dalam segitiga Pascal adalah:

Dari pola di atas juga bisa diperoleh sebuah rumus baru yang dapat digunakan untuk menentukan bilangan a i, j yang merupakan bilangan yang ada pada baris ke-i dan kolom ke-j seperti berikut ini:

Kita umpamakan saja misalkan kita ingin mencari bilangan yang ada di posisi baris ke-7 dan tepat pada kolom ke-6 maka perhitungan rumusnya adalah:

Dari penjabaran rumus tersebut, kita dapat menuliskan barisan bilangan yang ada pada diagonal ke-d menjadi sebagai berikut:

Sehingga pada akhirnya didapatkan rumus suku ke-n dari barisan bilangan yang ada pada diagonak ke-d seperti di bawah ini:

untuk membuktikan rumus tersebut, mari kita coba mencari diagonal ke-3 pada sebuah segitiga Pascal yang memiliki pola n(n + 1)/2. Berikut adalah hasil ujinya:

Kurang lebih begitulah cara Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika yang bisa Rumus Matematika Dasar jelaskan kepada kalian semua. Semoga kalian bisa memahaminya dengan baik dan mengerti tentang pola bilangan yang berlaku dalam segitiga Pascal. Sampai jumpa lagi dalam materi matematika lainnya.