[수학]정보 제공에 따라 달라지는 확률 - 투자에서(3)
안녕하세요? ryanhan입니다.
저번 포스팅에 이어 두 아이 문제에 대해 이야기해보고
왜 정보 제공에 따라 달라질 수 있는 것인지
이것이 투자에 어떤 영향이 있을지 생각해보겠습니다.
정보제공에 따라 달라진다는 의미
저는 저번 두 포스팅에서 다음과 같은 질문의 답이 13/27이라 했습니다.
나는 두 아이가 있다. 그 중 한 아이는 화요일에 태어난 아들이다.
다른 한 아이도 아들일 확률은 얼마일까 ?
그렇다면 다음과 같은 대화가 있었다고 생각해 보겠습니다.
A :나는 두 아이가 있습니다. 그 중 한 아이는 아들입니다.
다른 한 아이도 아들일 확률은 얼마일까요 ?
B : 그 아들인 아이가 혹시 월요일에 태어났나요?
A : 아닙니다. 화요일에 태어났습니다.
이 대화를 통해 얻어지는 정보는 A의 아이중
적어도 한 명이 화요일에 태어난 아들이라는 점은
맨 위의 문제와 똑같습니다.
그렇다면 이 대화에서 B는 13/27이라고 답해야할까요?
아닙니다.
이 대화에서 A의 질문의 답은 여전히 1/3입니다.
A가 화요일에 태어났다는 정보를 준다고해서
변하는 것은 없습니다.
그렇다면 제공되는 정보는 같은데
왜 확률에는 변화가 생기는 걸까요?
정보가 어떻게 제공된 것인가
확률에 변화를 줄 수 있는 이유는
바로, 정보를 누가 제공했느냐에 있습니다.
첫 번째 문제에서 질문하는 사람은
화요일에 태어난 아들을 둔 사람 중에서 뽑힌 사람이라고 볼 수 있습니다.
그 자체에서 정보를 제공하게 됩니다.
두 번 째 문제에서 A는
두 아이중 적어도 한 명이 아들인 사람 중에서 한 명이라고 볼 수있습니다.
그리고 B가 질문을 통해 화요일에 태어났다는 정보를
알아냈을 뿐입니다.
따라서, 정보 제공이 어떻게 제공되느냐가
확률을 완전히 바꿔버릴 수 있다는 것을 보여줍니다.
고찰
두 아이 문제는
'정보 제공이 어떻게 되느냐'
가 중요한 문제임을 보여줍니다.
우리는 여러가지 정보를 이용해서 투자를 하게됩니다.
가령 가격이 1000원보다 작은 코인은오를 확률 70퍼센트다.
라는 결과를 어떻게든 얻어냈다고 생각해봅시다.
우리는 '1000원보다 작다'라는 정보를
어떻게 얻게되었는지 고민해봐야 할 것같습니다.
'화요일에 태어났다'라는 정보를 어떻게 얻었는지에 따라
확률이 바뀌는 것처럼
'1000원보다 작다'라는 정보를 어떻게 얻었는지에 따라
확률이 바뀔 수도 있겟습니다.
(정확한 예시인지는 잘 모르겠네요 ^^..;;)
3번에 걸쳐서 두아이 문제에 대해서
생각해보았습니다.
재미있으셨나요?
더욱 재밌는 수학이야기를 가져올 수 있도록
노력해보겠습니다.
감사합니다.
ryanhan이었습니다.
스스로 홍보하는 프로젝트에서 나왔습니다.
오늘도 좋은글 잘 읽었습니다.
오늘도 여러분들의 꾸준한 포스팅을 응원합니다.
조금 더 정제된 언어로 표현하면, 베이즈 룰 (Bayes' rule)로 주어지는 조건부 확률의 사건들 중에서, 조건부 확률의 사건 중 일부분은 정보가 주어짐에 따라 배제되거나 확률이 수정되기 때문으로 해석할 수 있을 겁니다.
즉, 정보의 제공이 '정보가 없었을 때의 가능성 있는 여러 조건부 사건들' 중 일부에 대한 가중치를 변경 혹은 제거하게 되는 것으로 해석할 수 있을 것입니다.
더불어 그러한 가중치가 어떻게 결정되는 것이냐에는, 정보 제공의 주체가 누구인지 여부가 영향을 미칠 수가 있겠지요.
좋은 정리 감사합니다. 사건 중 일부분이 배제되거나 수정되는 것입니다.
같은 정보를 받더라도 확률이 달라지는 이유지요!!
doctorbme님이 잘 정리해주셔서 좋네요.
제 글보다 훨씬 잘 이해되는 것 같아요 ^^ ㅋㅋㅋ
생각을 하게 만드는 재밌는 글이네요 :)
예전에 10년이 넘었지만 보석상 문제라고 기억하시는지요?
정말 단순한 덧셈 문제지만,
풀때마다 답이 틀려지고, 여러 수학선생님들끼리도 답변이 갈렸던 그문제요 ㅎ
혹시 그 문제에 대해 다뤄주시면 재밌을것 같아요 :)
잘 읽고 갑니다
와 타나마님 좋은 제안 너무 감사드립니다.
이제 두 아이 문제가 끝나서 뭐 써야할지 고민했는데 ㅋㅋㅋ 정말 감사드려요
보석상 문제! 한 번 다뤄보겠습니다.
가격이 1000원보다 작은 코인은오를 확률 70퍼센트다.
여기서 '1000원보다 작다'라는 정보는 어떻게 얻든 별상관없지않나요?
확률이바뀔려면 가격의 기준이 바껴야되는거아닌가
글쎼요. 화요일 아들 문제에서도 아시겠지만
화요일에 태어난 아들이 있을 때 나머지 아이도 아들일 확률은 33퍼센트이거나 48퍼센트가 될 수 있습니다.
사실 코인에서 확률을 얻어내는 과정은 통계기 때문에 이미 모든 요소들(가격, 거래량...)
이 영향을 미친 상태여서 의미가 없는 것 같기도 합니다..ㅋㅋㅋ
급하게 생각해본 예시라서 저도 정확한지는 모르겠지만
전 날에 오른 코인은 오를 확률이 60퍼센트다. 라는 생각을 가지고
전 날에 오른 코인들 중 하나를 골랐는데(가격을 모르는 상태 - 60 퍼센트)
가격이 1000원보다 작다는 정보를 얻고, (가격을 아는상태)
그 코인이 오를 확률이 70퍼센트로 바뀐다는 건 아니라는 이야기를 해보고 싶었습니다.
아무래도 경우의 수를 구하는 문제에서는 예시를 들 수 있겠는데
코인처럼 이미 여러가지 요소가 영향을 준 경우에는 맞는 예시가 되기 힘들 것 같네요.
의견 감사합니다. songa0906님!!!
다시 생각해보면 의미가 없는 예시네요 ..ㅠㅠ
좀 더 많은 조건을 걸어놔야 의미가 있던지 하겠습니다. ㅠㅠ
그냥 정보 제공의 방식에 따라 확률이 달라질 수 있다는 것만으로 읽어주세요.
오늘 정말 춥네요 ㅜㅜ
좋은 컨텐츠가 즐거운 스티밋을 만드는거 아시죠?
짱짱맨이 함께 합니다
확률과 관계한 상황에서는 작은 정보라도 성공확률을 높일것이라 생각했는데 항상 그런것은 아닌가 봅니다!
어리둥절하면서 이해가되는 묘한 느낌입니다 ㅎㅎ
더 재밌는 점은 같은 정보를 가지고 있는 것 같아도 확률이 다르다는 점입니다!!
묘한느낌인게 재미있는 것 같아요 ㅎㅎㅎ