Il paradosso di Braess

Rimasti intasati nel traffico? Siete degli egoisti. Anche io. 

Il paradosso di Braess 

Immaginate un certo numero di automobilisti, che chiamiamo A. Poniamo, giusto per avere un esempio numerico, A=4000. Immaginate che questi automobilisti debbano andare da una città all'altra, e che per farlo abbiano a disposizione due strade. Ogni strada è a sua volta divisa in due parti: un tratto nel quale ci vogliono 45 minuti indipendentemente dal traffico, e un tratto dove il tempo di percorrenza dipende dal numero N di automobili sulla strada diviso 100. Il tutto viene dettagliatamente schematizzato dal mio disegno qui sotto. Prestate attenzione al fatto che i tempi di percorrenza sono invertiti. Ci servirà tra poco. 

In un primo momento gli automobilisti viaggiano scegliendo la strada più o meno casualmente. Dopo poco tempo però, il sistema si stabilizzerà in una situazione nella quale gli automobilisti si dividono esattamente a metà: 2000 in una strada e 2000 nell'altra. Questo perchè l'ipotesi iniziale che non vi ho ancora detto che è ogni automobilista ragiona in modo da minimizzare il proprio tempo di percorrenza: avere 2000 automobilisti per strada garantisce per tutti il tempo minimo, che sarà quindi di 45 +2000/100=65 minuti. A questo punto nessun automobilista ha motivo di cambiare percorso, perchè impiegherebbe più tempo. 

Adesso immaginiamo che venga costruita una nuova strada superveloce che unisce le due strade a metà percorso. È una strada con un tempo di percorrenza pari a 0. Schema sotto  

  
Come cambia adesso la situazione? Innanzitutto notiamo che anche se tutti i 4000 automobilisti scegliessero la strada rossa, arriverebbero a metà percorso in un tempo comunque minore rispetto alla strada verde: 40 contro 45. Se adesso continuassero sulla strada rossa impiegherebbero in totale 40+45=85 minuti. Ora però c'è la possibilità di cambiare percorso, ovvero di prendere la strada superveloce e percorrere l'ultimo pezzo di strada verde. Così facendo impiegano in totale 40+40=80 minuti. Meno che se avessero proseguito sulla strada rossa, ma di più che senza strada superveloce! Ricordiamoci che ognuno pensa a sè. Se si separassero esattamente in quantità uguali, allora la prima metà della strada rossa verrebbe percorsa in 20 minuti, e a questo punto gli automobilisti userebbero la strada superveloce per percorrere l'ultimo tratto di strada verde in al massimo 40 minuti, per un totale di 60. Questo però porterebbe l'altra metà degli automobilisti ad un tempo minimo di percorrenza pari a 85 minuti. Non funziona così, questa situazione non è permessa dalle ipotesi perchè sono tutti molto egoisti! L'unica possibilità più conveniente per tutti è quella che porta a una durata di 80 minuti.  Nonostante un miglioramento alla rete stradale, abbiamo avuto un peggioramento generale per gli automobilisti.    
  
Il paradosso qui proposto è molto famoso in quel ramo della matematica noto come "teoria dei giochi", che si occupa di studiare situazioni nelle quali due o più individui sono in conflitto, dove ognuno cerca il massimo guadagno, e dove le scelte fatte da uno influenzano quelle dell'altro. In base alle "mosse" disponibili, ogni giocatore cercherà di sopraffare l'altro. In alcuni casi esistono strategie dette "dominanti", ovvero scelte che permettono a un giocatore di ottenere il massimo possibile a prescindere dalle scelte dell'altro. Nel caso delle due strade (senza collegamento) la strategia dominante è l'esatta divisione a metà. Nel caso in cui è presente la superstrada allora la strategia dominante diventa quella descritta prima. Viene raggiunto il cosiddetto "equilibrio di Nash", ovvero una situazione in cui nessun giocatore è incentivato ad essere il solo a cambiare.  Simili ragionamenti vengono usati per studiare i rapporti economici tra aziende. Semplificando, il paradosso vuole mettere in luce il fatto che non sempre avere più scelte porta a dei vantaggi.  John Nash fu un matematico statunitense, studioso della teoria dei giochi, Nobel per l'economia nel 1994. Alla sua storia è ispirato il film "A beautiful mind".  

Cosa ci insegna tutto questo? Boh.