Fisica della chitarra

Quali sono i principi fisici su cui si basa il funzionamento della chitarra, o più in generale di ogni strumento a corda?

Capiamo innanzitutto cos'è il suono. Quello che noi percepiamo come suono altro non sono che vibrazioni delle particelle presenti nell'aria. Quando una corda viene fatta vibrare, trasmette la vibrazione alle particelle dell'aria, che trasmettono a loro volta la vibrazione al nostro orecchio, dove particolari recettori trasformano il movimento in impulsi elettrici destinati al cervello.
Le particelle d'aria si muovono in questa maniera:

movimenti di compressione e distensione
Le note altro non sono che frequenze di suoni piacevoli all'orecchio umano.

Adesso entriamo nel merito del funzionamento della chitarra.
Premetto che se non avete qualche base di matematica può risultarvi difficile seguire completamente il discorso, l'importante è che capiate i concetti fondamentali

Ogni corda in vibrazione si comporta come un'onda stazionaria, cioè un'onda la cui propagazione è limitata nello spazio e che possiede nodi in numero e a una distanza ben precisa dalle estremità.
L'onda stazionaria può esistere solo quando i nodi sono presenti alle estremità, e nel caso della chitarra il fatto che le corde siano bloccate porta alla formazione forzata di un'onda stazionaria.
Dato che alle estremità i nodi sono obbligati, questo ci da delle condizioni ben precise da soddisfare perchè si formi l'onda.
Una animazione chiarisce molto di più di quanto non possano fare le parole.

Vedete? Ci sono punti che non oscillano (i nodi) e punti che invece oscillano. La cosa importante da tenere a mente è che la posizione lungo l'asse x di questi punti è costante nel tempo (se rimane costante la frequenza e la tensione, ma ci arriviamo subito)
Qual'è la posizione di questi nodi? Poichè un onda stazionaria si genera a causa della sovrapposizione di due onde, matematicamente possiamo sommare le due funzioni che descrivono il moto di ogni singola onda. Vi risparmio le formule di prostaferesi, e vi scrivo il risultato finale:
L'altezza y di un punto dell'onda stazionaria è data da:

dove t è il tempo, w è la pulsazione (data da 2pigreco*frequenza), x è la posizione
Allora per capire dove sono i nodi dobbiamo cercare i punti nei quali y vale zero, cioè dove il seno si annulla. Il seno si annulla quando l'angolo (il numero dentro la parentesi del seno) vale nπ , dove n è un numero naturale intero(0,1,2,3...n) . Bene, ricordiamoci che alle estremità sono obbligati i nodi, quindi possiamo calcolarcela questa posizione.

Xn è la posizione del n-esimo nodo, L è la lunghezza della corda
Cosa importante, i nodi sono equidistanti tra di loro. (possiamo fare un ragionamento analogo per capire in quale posizione di trovano in punti dove la corda oscilla maggiormente, dobbiamo semplicemente cercare i punti nei quali il seno vale 1).
Cosa ancora più importante, le onde stazionarie si formano a una ben precisa frequenza, non a quella che ci pare. Seguitemi in questo passaggio perchè è fondamentale. Data una lunghezza di una corda, in quella lunghezza può starci un multiplo intero di mezza lunghezza d'onda. Quindi le frequenze che permettono la formazione di nodi sono quelle che generano lunghezze d'onda la cui metà sta un numero intero di volte nella lunghezza della corda. Il modo fondamentale è quello dove gli unici nodi sono presenti alle estremità, dove è fissata la corda. Quindi mezza lunghezza d'onda.
Salendo di modo abbiamo una lunghezza d'onda. E così via. Vi lascio un immagine che chiarisce.

Lunghezze d'onda sempre più piccole stanno nella stessa lunghezza, e vengono generate in modo tale che alle estremità ci sia sempre un nodo. Avere multipli interi di mezza lunghezza d'onda garantisce questa condizione

Ora tiriamo in ballo la tensione, simile per ognuna.
La frequenza del modo fondamentale è data da

dove l è la lunghezza, T è la tensione, u è una costante che dipende dal materiale e dalle dimensioni della corda (ecco perchè sono diverse!). Quando suoniamo una corda il modo che si genera è sempre quello fondamentale, e la formazione dell'onda stazionaria è garantita dal fatto che le estremità sono fisse. In questa equazione compare la lunghezza della corda. Vi dice nulla?
Cosa succede quando premiamo su un tasto della chitarra? Che diminuiamo lo spazio nel quale la corda può muoversi, ed è come se diminuissimo la sua lunghezza. Quindi cambiamo la frequenza delle onde stazionarie, quindi cambiamo nota, anche se il modo, descritto dal parametro n, rimane quello fondamentale! Come vedete, dal punto di vista matematico è equivalente dimezzare la lunghezza L o raddoppiare n. Ora sarebbe interessantissimo fare un discorso sul rapporto tra le varie frequenze, ma per oggi basta matematica, magari in futuro ne parlo. Per il momento questo è tutto, ciao!