¿Qué es un modelo matemático?
Como matemático que centra su atención en un campo llamado dinámica, a menudo me preguntan cuando me preguntan sobre mi área de especialidad, ¿qué es exactamente un sistema dinámico? Normalmente respondo algo así como: "Estudio las matemáticas subyacentes a lo que significa modelar algo matemáticamente". Y esto parece funcionar, ya que la mayoría de las personas tiene una comprensión básica de que las matemáticas se usan en ciencia e ingeniería para modelar un proceso físico o abstracto. y extraerlo para obtener información. Pero pensando un poco más, hay una pregunta mejor que hacer: ¿qué es exactamente un modelo matemático?
Cada vez que intentamos comprender algún fenómeno nuevo o idea que pueda ser cuantificable, nuestro primer y muy natural paso en la comprensión es comparar sus valores, comportamiento y límites con algo que ya entendemos o que al menos controlamos. El tiempo es un concepto común para medir nuestro nuevo fenómeno en contra, ¿cómo cambia con el paso del tiempo? Pero podemos usar cualquier cantidad conocida para comparar nuestra nueva idea. Piense en la eficacia de los medicamentos por dosis, por ejemplo, o el crecimiento poblacional según el tamaño de la población. Esta comparación viene en la forma de una relación que vincula los valores de nuestro nuevo fenómeno con los valores de algo que ya conocemos. Y cuando esta relación entre nuestro nuevo concepto cuantificado y algo sobre lo que ya tenemos control es funcional (lo que significa que para cada valor de nuestra cantidad conocida, hay a lo sumo un solo valor del nuevo), podemos usar nuestra cantidad conocida para descubrir, jugar con, y / o predecir valores de la nueva variable mediante el estudio de las propiedades de la relación o función.
La idea de una relación funcional que relacione los valores de dos cantidades mensurables, una de las cuales conocemos y la otra sobre la que deseamos saber más, es, en esencia, un modelo matemático.
A veces, los valores de las variables de entrada y salida pueden ser discretos (números reales individuales con espacios entre valores) o continuos (como un intervalo de números reales), y las propiedades de las funciones, como modelos matemáticos, reflejarán esto. En matemáticas, los conjuntos de números (colecciones de variables de entrada y salida válidas, los fenómenos conocidos y recién estudiados, respectivamente) y las funciones entre ellos son parte de los bloques de construcción fundamentales de todas nuestras estructuras matemáticas. Estructuramos la gran mayoría de nuestros procesos de pensamiento en torno a las relaciones funcionales entre fenómenos cuantificables.
En una de estas relaciones funcionales entre dos entidades cuantificadas, de hecho, en un modelo matemático, podemos variar los valores de la variable de entrada de un valor al siguiente o al anterior, como un medio para estudiar las propiedades de la función. Estudiar las propiedades de un modelo (una función) de esta manera es algo que un estudiante de matemáticas comienza a hacer en un nivel básico en lo que llamamos cálculo, o el "cálculo de funciones de una variable independiente", y en un nivel más alto en áreas como análisis y topología.
La idea de una relación funcional que relacione los valores de dos cantidades mensurables, una de las cuales conocemos y la otra sobre la que deseamos saber más, es, en esencia, un modelo matemático.
También solemos utilizar las propiedades de las funciones (modelos) a menudo sin darnos cuenta. Entendemos de manera intuitiva que la parte más cálida de un día es aproximadamente dos tercios del camino durante las horas del día, vinculando la temperatura con el tiempo durante un día. También sabemos que dos aspirinas son más efectivas para aliviar el dolor que una, pero intuitivamente entiendo que probablemente exista una dosis efectiva máxima que es segura antes de que entren los efectos nocivos, ya sea que optemos por probar la teoría o no.
Pero principalmente, el poder central de un modelo matemático, como una relación funcional entre dos cantidades mensurables, una conocida y otra estudiada, es su capacidad de predecir, descubrir o extrapolar tendencias en la nueva cantidad. Y aquí es donde mi campo de elección en matemáticas se vuelve relevante: las funciones entre cantidades contienen información dinámica. Si aplicamos una función a un conjunto, permitiendo que su salida se reutilice como una entrada, una y otra vez, podemos descubrir las propiedades de la función (y algunas veces también del conjunto) observando a qué entradas individuales recurren cuando se aplica repetidamente el función. Esta idea, iterar una función en un conjunto (la versión discreta) o usar el cálculo para escribir un modelo como una ecuación diferencial (la versión continua), es lo que llamamos un sistema dinámico. En un sistema tan dinámico, a menudo llamamos a los números que representan los iterados, o la variable de entrada en una ecuación diferencial, la variable de tiempo, debido a su interpretación común como tiempo real en los modelos de ciencia, ingeniería y tecnología. Sin embargo, no hay una razón convincente por la que en general. Pero subyacente tanto una función como sus iteraciones (un sistema dinámico discreto) o un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (la continua), es la idea de una función cuyos valores de variables de entrada y salida provienen del mismo conjunto de posibilidades. Entonces, un sistema dinámico es la disciplina matemática que estudia la estructura del modelado matemático. Y un modelo matemático es simplemente una función.
¿Formas y estudias relaciones funcionales para entender cosas nuevas? En matemáticas, esto se llama modelado. ¿Y en la vida real?
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