[특수상대성이론] 시간은 길어지고 길이는 짧아지면.. 질량은?

안녕하세요 @chosungyun입니다.
저번 포스팅을 끝으로 시간 지연과 로렌츠 수축에 대해 사고 실험을 토대로 알아보았습니다.
그런데 우리가 고유하다고 여기는 물리량이 하나 또 있습니다.
바로 어떤 좌표변환에 의해 바뀌지 않는 스칼라값인 질량입니다.

질량은 상대론에 의해 어떻게 바뀔까요?

우선, 사고 실험에 앞서 하나 알아야 하는 것이 있습니다.
운동량 보존법칙입니다.
운동량 보존법칙은 어떤 두 물체가 충돌을 했을 때 충돌 전과 충돌 후의 운동량 합이 일정하다는 것을 말합니다.
운동량은 질량과 속도의 곱으로 나타내며 p=mv라고 씁니다.
그리고 탄성충돌을 하게 되면 운동에너지도 보존됩니다.

따라서 운동량과 운동에너지가 보존되는 탄성충돌의 경우에 부딪히는 두 물체가 질량과 속도가 똑같다면 충돌 전과 후의 운동량과 운동에너지는 똑같습니다.
만약 질량은 똑같은데 속도가 다르다면 충돌 전후의 전체 운동량과 운동에너지는 보존되며 속도는 서로 교환됩니다.

자 그럼 이제 사고 실험을 시작하겠습니다. 공중에 기차 하나가 떠 있습니다.
우선, 이 기차가 정지해 있을 때 기차의 바닥에서 공을 아래 방향으로 던지고 아래 지면에서 위 방향으로 공을 던집니다.
이 두 공은 던져지고 난 후에 같은 속도로 서로를 향해 이동하고 충돌 후에도 같은 속도 반대의 방향으로 다시 돌아가는 운동을 합니다.
이때 중력, 공기저항 같은 외력은 무시하겠습니다.

그럼 이제 기차는 움직입니다.
저 멀리서부터 빛의 속도에 가깝게 이동하는 기차가 우리가 위로 던진 공에 정확히 부딪히도록 딱 시간을 마추어서 던진다고 가정하겠습니다.
그럼 여기서 정지했을 때와 어떤 차이가 발생할까요?
기차로부터 떠난 공은 아래로 이동하지만 기차의 이동방향과 같은 방향으로 이동을 합니다.
즉, 시간 지연때처럼 대각선 방향의 이동방향을 가집니다.
여기서 편의를 위해 기차의 이동 방향을 x 방향 위로 던진 공이 향하는 방향을 y 방향이라고 하겠습니다.
그럼 공의 이동 방향을 추적하면 아래와 같습니다.

우선 기차로부터 출발하는 공의 x 방향으로의 속도는 기차의 속도와 동일하고 y 방향으로의 속도는 초기에 던진 속도 v로 일정합니다. 그리고 아래에서 던져지는 공은 x 방향으로의 속도는 0이고 y 방향으로 v의 속도로 날아갑니다.
이때 운동량 보전법칙을 계산할 때 두 공이 y 방향으로 충돌하기 때문에 x 방향으로는 변화가 없고 y 방향으로의 운동량 보존을 고려해줘야 합니다.
즉, 아래 그림과 같이 기차의 꽁무니에서 쳐다보는 모습처럼 수직선상에 왔다 갔다 하는 모습으로 보고 계산합니다.

하지만, 정지했을 때와 달리진 점이 있습니다.
대각선으로 이동한 기차로부터 출발한 공은 부딪치기까지 똑같은 시간 t동안 이동한 거리가 vtsin(theta)인 반면 아래에서 출반한 공의 이동 거리는 vt입니다. 수직으로 떨어져 세타가 90도 이지 않는 한 vtsin(theta)가 더 작은 것을 알 수 있습니다.
즉, 단순히 기차의 꽁무니에 서서 공의 움직임을 관측했을 때 정지했을 때 보다 더 기차쪽에 가까운 위치에서 부딪힌다고 할 수 있습니다.
그렇다면 똑같은 시간 t 동안 위쪽의 공이 더 천천히 움직였다고 볼 수 있습니다.
그런데 이 두 공의 y 방향의 속도는 v로 똑같았습니다.
따라서 운동량 공식으로부터 기차로부터 떨어진 공의 질량 m이 증가했다고 볼 수 있습니다.

이런 질량 증가는 아주 중요한 문제를 시사합니다.
빛의 속도에 가까워지면 가까워질수록 질량 증가는 무한대로 증가하고 이 엄청나게 무거워진 질량을 가진 대상을 더 빠르게 가속을 하기 위해서는 무한대의 에너지가 필요합니다.
따라서 상대론에서 질량은 증가한다는 사실은 절대 우리는 빛의 속도보다 빨리 움직일 수 없다는 것을 말해줍니다.
여기까지가 상대론에서의 질량 변화에 대한 소개였습니다. 하지만 질량에 대한 소개는 다음에 아주 중요한 공식인 질량 에너지 등가 공식과 함께 한 번 더 소개하도록 하겠습니다.
오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”