【cn-stem】如何证明“最美等式”

上周π节的时候写了篇如何计算-1π,其中用到了所谓最美恒等式eiπ+1=0（在一个等式中集中了自然对数e，圆周率π，虚数i，自然数1，0五个有特殊数学意义的数）.我们也知道这个恒等式其实是欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ在θ=π时的特殊情况。今天我们就看看欧拉公式为什么成立。

要证明欧拉公式，方法不只一种，高级的办法有利用微分方程的。今天我们用一个不那么高级的，但是比较好懂的方法，不过也要涉及一点微积分里面的知识——泰勒展开式。

不过大家不用怕，这个知识点并不深奥，泰勒展开式，简单说就是用形如a₀+a₁x+a₂x2+a₃x3+...多项式函数去近似表示一个函数，而系数a₀，a₁...的确定与原函数的的n阶导数有关。泰勒展开式的意义就是让人们可以方便的计算一个函数的近似值，关于泰勒展开的细节这里就不多说了，欧拉公式中总共涉及三个函数，分别是ex，cosx，sinx。为了符合习惯，我把自变量写成x而不是θ。下面我就分别给出这三个函数的泰勒展开式:

仔细观察上面三个式子，发现它们的形式非常相近，ex的展开式分母是所有自然数的阶乘，而sinx分母是所有奇数的阶乘，cosx的分母则是所有偶数的阶乘。如果想想办法，应该是可以用sinx 和 cosx的展开式凑出形式类似ex展开式的式子。再观察ex，右边展开式的每一项符号都是正，而sinx与cosx的展开式每一项符号都会改变，这一项为正，下一项就为负。似乎不太好办啊！在现实中如果我们遇到困难或者挫折，我们可能会让想象中的小伙伴来为我们加油打气，这个想象中的小伙伴可能是某个偶像，也可能是影视剧或动漫中的英雄人物。这里我们也要请出一个想象中的小伙伴来帮忙,存在于想象中的数（imaginary number）——虚数i。就像上一篇说的那样，i这个数是人们为了让-1的平方根有意义而定义出来的，所以i2=-1，i3=-i，i4=1...

我们用ix代替x代入ex的泰勒展开式：得到：

显然，这是一个复数，对于复数我们会把所有的实数部分，和虚数部分分别加在一起，写成形如a+bi的样子：

所以：

眼尖的你应该已经发现了，实部就是cosx的展开式，虚部就是sinx的展开式。我们已经证明了最美等式的一般形式：eiθ=cosθ+isinθ。

证明一个结论只是让你可以有信心去使用这个结论，并没有告诉你什么本质上的东西，人们觉得数学难，是因为数学总是很抽象，离现实很远，那么欧拉恒等式到底有没有什么直观的意义呢？我们下次再聊。

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参考资料：

• youtube频道Tibees 视频 Proving the Most beautiful Equation Bob Ross Style

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