Noción de Relación!

La noción de relación esta presente en casi todos los campos de estudio, aunque en la mayoría de ellos no se hace un análisis del concepto sino que se utilizan algunas relaciones propis de ese campo. En cualquier disciplina científica resulta importante establecer vínculos entre los elementos de un conjunto y los elementos de otro conjunto, o entre los elementos de un conjunto y los elementos de otro conjunto; esto es, asigna a los elementos de ciertos conjuntos elementos del mismo o de otro conjunto. Al comparar, al clasificar, al buscar semejanza y diferencias, al investigar dependencias y en muchas otras acciones el propósito es establecer relaciones.

Tal vez las relaciones más familiares a todos sean las relaciones de parentesco. Reconocemos las personas a las cuales estamos vinculados por esos nexos: madre, padre, cónyuge, hermanos, abuelos, tíos, primos, cuñados, entre otros. Como veremos las adelante esas relaciones están determinadas por las relaciones de ser hijo(a) “y” ser cónyuge”

Indiquemos algunos pocos ejemplos dentro de la inmensa gama de relaciones: en historia se establecen las fechas correspondientes a los sucesos importantes (Venezuela declaro su independencia el 5 de Julio de 1811, Estados Unidos declaro su independencia el 4 de Julio de 1776), se vinculan personajes (Sócrates fue maestros de Platón, Simón Rodríguez fue maestro de Simón Bolívar), entre otros; en Geografía se indica la ubicación de los distintos accidentes geográficos ( el rio Nilo nace en el lago Victoria, en Kenya, el rio Orinoco nace en la sierra Parima, en Venezuela) se comparan estos elementos ( el pico Everest es mas alto que el pico Bolívar, el Bolívar es mas alto que el pico Humboldt), se señalan las poblaciones de países y ciudades( Venezuela tiene una población de 24 millones de habitantes, Colombia tiene una población de 36 millones de habitantes), entre otros; en química se establecen los números y pesos atómicos de los distintos elementos ( el oxigeno tiene numero atómico 8 y tiene un peso atómico de 16, el carbono tiene un numero atómico 6 y tiene un peso atómico de 12).

En particular en matemáticas la idea de relación es fundamental y está en la base de la mayoría de los conceptos. Para poder establecer formalmente el concepto de relación necesitamos establecer previamente los conceptos de par ordenado y producto cartesiano.

Definición (Par ordenado)

Sean a y b dos elementos cualesquiera. Se llama par ordenado a, b, y se denota por (a, b), al conjunto {{a}}, {a, b}}. Al elemento a se le llama la primera componente del par ordenado (a, b) y al elemento b se le llama la segunda componente.

Definición (producto cartesiano)

Sean A y B dos conjuntos, se llaman producto cartesiano de Ay B, y se denota por AxB, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto de A y cuya segunda componente pertenece al conjunto B.

Representación Matricial o Tabular

Si A y B son dos conjuntos finitos, digamos A = {a1, a2,…,am} y B= {b1, b2,…bm}, es posible visualizar AX B mediante una matriz o tabla de doble entrada como se muestra a continuación:

En donde los elementos de A se colocan en la primera columna, los elementos de B se colocan en la primera fila y el par ordenado (ai, bj)se colocan en la casilla de intersección de la fila i-esima de cuerpo de la tabla (la fila de ai) con la columna j-esima de cuerpo de la tabla (la columna de bj).

Esta representación permite también visualizar de forma sencilla que el numero de elementos del producto cartesiano AXB es igual al número de elementos de A por el número de elementos de B; esto es, el Principio de la multiplicación.

Representación cartesiana

También es posible visualizar el producto cartesiano de dos conjuntos finitos A = = {a1, a2,…,am} y B= {b1, b2,…bm}, considerando dos rectas perpendiculares: una horizontal en la cual representamos los elementos de B, como se muestra a continuación

El par ordenado ( ai, bj) se visualiza como el punto de intersección de la recta vertical que pasa por la representación de ai con la recta horizontal que pasa por la representación de bj.

El fundamento de la geometría analítica es la posibilidad de establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales, de forma tal que:

• A cada punto de la recta le corresponda un numero real.
• A cada numero real le corresponda un punto de la recta.
• La distancia entre dos puntos de la recta quede determinda por el valor adsoluto de la diferencia entre los numero reales correspondientes a esos puntos.

Una correspondencia entre los puntos de una recta L y los números reales que satisfaga las tres condiciones anteriores es lo que se llma un sistema de coordenadas para la recta L. tenemos asi que si A y B son dos puntos de la recta L a los cuales le corresponden los números reales a y b, respectivamente, entonces la distancia entre A y B viene dada por el numero real no negativo I A-B I.

La idea de una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales como la descrita arriba era conocida desde mucho antes de descartes pero el la extendió al plano.

De esta manera a cada punto del plano le corresponde unpar ordenado de números reales y a cada par ordenado de números reales le corresponde un punto del plano. Esta correspondencia se llama un sistema de coordenadas cartesianas para el plano.

Se conviene en que los sistemas de coordenadas para los ejes se eligen de forma tal que:

• Al punto de intersección de los ejes le corresponde el par (0,0)
• A los puntos del semieje derecho del eje x y a los puntos del semieje superior del eje Y le corresponde números positivos.
• Las escalas en los dos ejes son iguales.
• Lo9s sistemas de coordenadas cartesianas nos permiten interpretar los objetos de la geometría plana ( recta, segmentos, circunferencias, entre otros.) como sibconunto de pares ordenados de números reales.

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